Mehrere Systeme und reduzierte Zustände

Nun wenden wir uns der Frage zu, wie Dichtematrizen für mehrere Systeme funktionieren – einschließlich Beispielen verschiedener Arten von Korrelationen, die sie ausdrücken können, und wie sie verwendet werden können, um die Zustände isolierter Teile zusammengesetzter Systeme zu beschreiben.

Mehrere Systeme

Dichtematrizen können Zustände mehrerer Systeme auf analoge Weise wie Zustandsvektoren in der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation darstellen, wobei die gleiche Grundidee gilt: Mehrere Systeme können so betrachtet werden, als wären sie ein einziges, zusammengesetztes System. Mathematisch gesehen entsprechen die Zeilen und Spalten von Dichtematrizen, die Zustände mehrerer Systeme darstellen, dem kartesischen Produkt der klassischen Zustandsmengen der einzelnen Systeme.

Erinnere dich zum Beispiel an die Zustandsvektordarstellungen der vier Bell-Zustände.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Die Dichtematrixdarstellungen dieser Zustände sind wie folgt.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Produktzustände

Ähnlich wie bei Zustandsvektoren stellen Tensorprodukte von Dichtematrizen Unabhängigkeit zwischen den Zuständen mehrerer Systeme dar. Wenn $\mathsf{X}$ zum Beispiel im Zustand der Dichtematrix $\rho$ präpariert wird und $\mathsf{Y}$ unabhängig davon im Zustand $\sigma,$ dann ist die Dichtematrix, die den Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ beschreibt, das Tensorprodukt $\rho\otimes\sigma.$

Die gleiche Terminologie wird hier wie in der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation verwendet: Zustände dieser Form werden als Produktzustände bezeichnet.

Korrelierte und verschränkte Zustände

Zustände, die nicht als Produktzustände ausgedrückt werden können, stellen Korrelationen zwischen Systemen dar. Es gibt tatsächlich verschiedene Arten von Korrelationen, die durch Dichtematrizen dargestellt werden können. Hier sind einige Beispiele.

1. Korrelierte klassische Zustände. Zum Beispiel können wir die Situation, in der Alice und Bob ein zufälliges Bit teilen, so ausdrücken:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Ensembles von Quantenzuständen. Angenommen, wir haben $m$ Dichtematrizen $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ die alle Zustände eines Systems $\mathsf{X}$ darstellen, und wählen einen dieser Zustände zufällig gemäß einem Wahrscheinlichkeitsvektor $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Ein solcher Prozess wird durch ein Ensemble von Zuständen dargestellt, das die Spezifikation der Dichtematrizen $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ sowie die Wahrscheinlichkeiten $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ umfasst. Wir können einem Ensemble von Zuständen eine einzelne Dichtematrix zuordnen, die sowohl die zufällige Wahl von $k$ als auch die entsprechende Dichtematrix $\rho_k$ beschreibt, wie folgt:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Zur Klarheit: Dies ist der Zustand eines Paares $(\mathsf{Y},\mathsf{X}),$ wobei $\mathsf{Y}$ die klassische Auswahl von $k$ repräsentiert – wir nehmen also an, dass seine klassische Zustandsmenge $\{0,\ldots,m-1\}$ ist. Zustände dieser Form werden manchmal als klassisch-quantenmechanische Zustände bezeichnet.

3. Separable Zustände. Wir können uns Situationen vorstellen, in denen wir eine klassische Korrelation zwischen den Quantenzuständen zweier Systeme haben:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Anders ausgedrückt: Für jedes $k$ von $0$ bis $m-1$ gilt, dass mit Wahrscheinlichkeit $p_k$ das linke System im Zustand $\rho_k$ und das rechte System im Zustand $\sigma_k$ ist. Zustände dieser Form werden als separable Zustände bezeichnet. Dieses Konzept lässt sich auch auf mehr als zwei Systeme erweitern.

4. Verschränkte Zustände. Nicht alle Zustände von Systempaaren sind separabel. In der allgemeinen Formulierung der Quanteninformation wird Verschränkung genau so definiert: Zustände, die nicht separabel sind, nennt man verschränkt.

   Diese Terminologie ist konsistent mit der Terminologie aus dem Kurs „Grundlagen der Quanteninformation". Dort haben wir gesagt, dass Quantenzustandsvektoren, die keine Produktzustände sind, verschränkte Zustände darstellen – und tatsächlich ist für jeden Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle,$ der kein Produktzustand ist, der durch die Dichtematrix $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ dargestellte Zustand nicht separabel. Für Zustände, die nicht rein sind, ist Verschränkung jedoch wesentlich komplizierter.

Reduzierte Zustände und die partielle Spur

Im Kontext mehrerer Systeme gibt es eine einfache, aber wichtige Operation, die wir mit Dichtematrizen durchführen können: die Beschreibung von Zuständen, die wir erhalten, wenn wir einige der Systeme ignorieren. Wenn mehrere Systeme zusammen in einem Quantenzustand sind und wir ein oder mehrere Systeme verwerfen oder ignorieren, heißt der Zustand der verbleibenden Systeme der reduzierte Zustand dieser Systeme. Dichtematrixbeschreibungen reduzierter Zustände lassen sich durch eine Abbildung, die als partielle Spur bekannt ist, leicht aus der Dichtematrix des Gesamtsystems gewinnen.

Beispiel: Reduzierte Zustände für ein E-Bit

Angenommen, wir haben ein Qubit-Paar $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ das zusammen im Zustand

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle$$

ist. Wir stellen uns vor, dass Alice das Qubit $\mathsf{A}$ und Bob das Qubit $\mathsf{B}$ hält – zusammen teilen sie also ein E-Bit. Wir möchten eine Dichtematrixbeschreibung von Alices Qubit $\mathsf{A}$ in Isolation erhalten, als hätte Bob beschlossen, sein Qubit zu nehmen und zu den Sternen zu reisen, um nie wieder gesehen zu werden.

Denken wir zunächst darüber nach, was passieren würde, wenn Bob irgendwo auf seiner Reise beschließen würde, sein Qubit in einer Standardbasismessung zu messen. Wenn er dies täte, würde er das Ergebnis $0$ mit der Wahrscheinlichkeit

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2}$$

erhalten, wobei der Zustand von Alices Qubit zu $\vert 0\rangle$ wird; und er würde das Ergebnis $1$ mit der Wahrscheinlichkeit

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2}$$

erhalten, wobei der Zustand von Alices Qubit zu $\vert 1\rangle$ wird.

Wenn wir also Bobs Messergebnis ignorieren und uns auf Alices Qubit konzentrieren, kommen wir zu dem Schluss, dass sie den Zustand $\vert 0\rangle$ mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ und den Zustand $\vert 1\rangle$ mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ erhält. Dies führt uns dazu, den Zustand von Alices Qubit in Isolation durch die Dichtematrix

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}$$

zu beschreiben. Das heißt, Alices Qubit befindet sich im vollständig gemischten Zustand. Zur Klarheit: Diese Beschreibung des Zustands von Alices Qubit enthält nicht Bobs Messergebnis; wir ignorieren Bob vollständig.

Es mag so erscheinen, als ob die eben erhaltene Dichtematrixbeschreibung von Alices Qubit in Isolation auf der Annahme beruht, dass Bob sein Qubit gemessen hat, aber das stimmt nicht wirklich. Was wir getan haben, ist, die Möglichkeit, dass Bob sein Qubit misst, zu nutzen, um zu argumentieren, dass der vollständig gemischte Zustand als Zustand von Alices Qubit entsteht, basierend auf dem, was wir bereits gelernt haben. Natürlich sagt nichts, dass Bob sein Qubit messen muss – aber auch nichts sagt, dass er es nicht tut. Und wenn er Lichtjahre entfernt ist, kann nichts, was er tut oder nicht tut, möglicherweise den Zustand von Alices Qubit in Isolation beeinflussen. Das heißt, die Beschreibung, die wir für den Zustand von Alices Qubit erhalten haben, ist die einzige Beschreibung, die mit der Unmöglichkeit überlichtschneller Kommunikation vereinbar ist.

Wir können auch den Zustand von Bobs Qubit $\mathsf{B}$ betrachten, der ebenfalls der vollständig gemischte Zustand ist. Für alle vier Bell-Zustände gilt, dass der reduzierte Zustand sowohl von Alices Qubit als auch von Bobs Qubit der vollständig gemischte Zustand ist.

Reduzierte Zustände für einen allgemeinen Quantenzustandsvektor

Verallgemeinern wir nun das gerade besprochene Beispiel auf zwei beliebige Systeme $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B},$ die nicht notwendigerweise Qubits im Zustand $\vert \phi^+\rangle$ sein müssen. Wir nehmen an, dass die klassischen Zustandsmengen von $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B}$ jeweils $\Sigma$ und $\Gamma$ sind. Eine Dichtematrix $\rho,$ die einen Zustand des kombinierten Systems $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ darstellt, hat daher Zeilen- und Spaltenindizes, die dem kartesischen Produkt $\Sigma\times\Gamma$ entsprechen.

Angenommen, der Zustand von $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ wird durch den Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$ beschrieben, sodass die diesen Zustand beschreibende Dichtematrix $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ ist. Wir ermitteln eine Dichtematrixbeschreibung des Zustands von $\mathsf{A}$ in Isolation, die üblicherweise mit $\rho_{\mathsf{A}}$ bezeichnet wird. (Manchmal wird auch ein Superskript statt eines Subskripts verwendet.)

Der Zustandsvektor $\vert\psi\rangle$ lässt sich in der Form

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

für eine eindeutig bestimmte Kollektion von Vektoren $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ ausdrücken. Diese Vektoren können insbesondere durch eine einfache Formel bestimmt werden.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

In analoger Weise zum vorherigen Beispiel eines E-Bits gilt: Wenn wir das System $\mathsf{B}$ mit einer Standardbasismessung messen würden, erhielten wir jedes Ergebnis $b\in\Gamma$ mit Wahrscheinlichkeit $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ und der Zustand von $\mathsf{A}$ wird dann zu

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Als Dichtematrix lässt sich dieser Zustand wie folgt schreiben.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Indem wir die verschiedenen Zustände gemäß den Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ergebnisse mitteln, gelangen wir zur Dichtematrix

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

Die partielle Spur

Die Formel

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

führt uns zur Beschreibung des reduzierten Zustands von $\mathsf{A}$ für jede Dichtematrix $\rho$ des Paares $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ nicht nur für einen reinen Zustand.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Diese Formel muss gelten, einfach durch Linearität zusammen mit der Tatsache, dass jede Dichtematrix als Konvexkombination reiner Zustände geschrieben werden kann.

Die Operation, die an $\rho$ durchgeführt wird, um $\rho_{\mathsf{A}}$ zu erhalten, wird als partielle Spur bezeichnet, und genauer gesagt sagen wir, dass die partielle Spur über $\mathsf{B}$ ausgeführt wird oder dass $\mathsf{B}$ herausgespurt wird. Diese Operation wird mit $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ bezeichnet, sodass wir schreiben können

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Wir können auch die partielle Spur über $\mathsf{A}$ definieren, sodass das System $\mathsf{A}$ statt $\mathsf{B}$ herausgespurt wird, wie folgt.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Dies ergibt uns die Dichtematrixbeschreibung $\rho_{\mathsf{B}}$ des Zustands von $\mathsf{B}$ in Isolation statt $\mathsf{A}.$

Zusammenfassend gilt: Wenn $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ein beliebiges Systempaar ist und wir eine Dichtematrix $\rho$ haben, die einen Zustand von $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ beschreibt, sind die reduzierten Zustände der Systeme $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B}$ wie folgt.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Wenn $\rho$ eine Dichtematrix ist, sind $\rho_{\mathsf{A}}$ und $\rho_{\mathsf{B}}$ notwendigerweise ebenfalls Dichtematrizen.

Diese Begriffe lassen sich auf natürliche Weise auf eine beliebige Anzahl von Systemen anstelle von zwei verallgemeinern. Im Allgemeinen können wir die Namen beliebiger Systeme im Subskript einer Dichtematrix $\rho$ angeben, um den reduzierten Zustand genau dieser Systeme zu beschreiben. Wenn $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ und $\mathsf{C}$ beispielsweise Systeme sind und $\rho$ eine Dichtematrix ist, die einen Zustand von $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$ beschreibt, dann können wir definieren:

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

und entsprechend für andere Systemauswahlen.

Alternative Beschreibung der partiellen Spur

Eine alternative Möglichkeit, die partiellen Spurabbildungen $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ und $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ zu beschreiben, besteht darin, dass sie die eindeutigen linearen Abbildungen sind, die die Formeln

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M \end{aligned}$$

erfüllen. In diesen Formeln sind $N$ und $M$ quadratische Matrizen geeigneter Größe: Die Zeilen und Spalten von $M$ entsprechen den klassischen Zuständen von $\mathsf{A}$ und die Zeilen und Spalten von $N$ entsprechen den klassischen Zuständen von $\mathsf{B}.$

Diese Charakterisierung der partiellen Spur ist nicht nur aus mathematischer Sicht grundlegend, sondern ermöglicht in manchen Situationen auch schnelle Berechnungen. Betrachten wir zum Beispiel diesen Zustand eines Qubit-Paares $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Um den reduzierten Zustand $\rho_{\mathsf{A}}$ zu berechnen, können wir Linearität zusammen mit der Tatsache nutzen, dass $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ und $\vert +\rangle\langle +\vert$ Einheitsspur haben.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Der reduzierte Zustand $\rho_{\mathsf{B}}$ lässt sich ähnlich berechnen.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

Die partielle Spur für zwei Qubits

Die partielle Spur lässt sich auch explizit in Form von Matrizen beschreiben. Wir tun dies hier nur für zwei Qubits, aber das lässt sich auch auf größere Systeme verallgemeinern. Nehmen wir an, wir haben zwei Qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ sodass jede Dichtematrix, die einen Zustand dieser zwei Qubits beschreibt, geschrieben werden kann als

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

für eine Wahl komplexer Zahlen $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

Die partielle Spur über das erste System hat folgende Formel.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Eine Möglichkeit, diese Formel zu verstehen, besteht darin, $4\times 4$-Matrizen als $2\times 2$-Blockmatrizen zu betrachten, wobei jeder Block $2\times 2$ ist. Das heißt,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

für

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Dann gilt

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Hier ist die Formel, wenn das zweite System statt des ersten herausgespurt wird.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

In Form von Blockmatrizen ähnlicher Gestalt wie zuvor gilt folgende Formel.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Die Blockmatrixbeschreibungen dieser Funktionen lassen sich auf natürliche und direkte Weise auf Systeme verallgemeinern, die größer als Qubits sind.

Zum Abschluss der Lektion wenden wir diese Formeln auf denselben Zustand an, den wir oben betrachtet haben.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Der reduzierte Zustand des ersten Systems $\mathsf{A}$ ist

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

und der reduzierte Zustand des zweiten Systems $\mathsf{B}$ ist

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$