Einführung

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Im Kurs „Grundlagen der Quanteninformation" haben wir ein Framework für Quanteninformation besprochen, in dem Quantenzustände durch Quantenzustandsvektoren dargestellt werden, Operationen durch unitäre Matrizen beschrieben werden und so weiter. Dieses Framework haben wir dann im Kurs „Grundlagen der Quantenalgorithmen" verwendet, um Quantenalgorithmen zu beschreiben und zu analysieren.

Es gibt tatsächlich zwei gängige mathematische Beschreibungen der Quanteninformation, wobei die in „Grundlagen der Quanteninformation" eingeführte die einfachere der beiden ist. Deshalb bezeichnen wir sie als vereinfachte Formulierung der Quanteninformation.

In dieser Lektion beginnen wir unsere Erkundung der zweiten Beschreibung, der allgemeinen Formulierung der Quanteninformation. Sie ist selbstverständlich konsistent mit der vereinfachten Formulierung, bietet aber bemerkenswerte Vorteile. Zum Beispiel kann sie verwendet werden, um Unsicherheit in Quantenzuständen zu beschreiben und die Auswirkungen von Rauschen auf Quantenberechnungen zu modellieren. Sie bildet die Grundlage für die Quanteninformationstheorie, Quantenkryptographie und andere Themen im Zusammenhang mit Quanteninformation – und ist außerdem aus mathematischer Perspektive recht elegant.

In der allgemeinen Formulierung der Quanteninformation werden Quantenzustände nicht wie in der vereinfachten Formulierung durch Vektoren dargestellt, sondern durch eine spezielle Klasse von Matrizen, die Dichtematrizen genannt werden. Hier sind einige wichtige Punkte, die ihre Verwendung motivieren.

• Dichtematrizen können eine breitere Klasse von Quantenzuständen darstellen als Quantenzustandsvektoren. Dazu gehören Zustände, die in der Praxis auftreten, wie Zustände von Quantensystemen, die Rauschen ausgesetzt waren, sowie zufällig gewählte Quantenzustände.

• Dichtematrizen erlauben es uns, Zustände isolierter Teile von Systemen zu beschreiben, beispielsweise den Zustand eines Systems, das zufällig mit einem anderen System verschränkt ist, das wir ignorieren möchten. In der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation ist dies nicht einfach möglich.

• Klassische (probabilistische) Zustände können ebenfalls durch Dichtematrizen dargestellt werden, nämlich durch diagonale. Das ist wichtig, weil es ermöglicht, Quanten- und klassische Information innerhalb eines einzigen mathematischen Frameworks gemeinsam zu beschreiben, wobei klassische Information im Wesentlichen ein Spezialfall der Quanteninformation ist.

Auf den ersten Blick mag es seltsam erscheinen, dass Quantenzustände durch Matrizen dargestellt werden, die üblicherweise eher Aktionen oder Operationen darstellen als Zustände. Unitäre Matrizen beschreiben zum Beispiel Quantenoperationen in der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation, und stochastische Matrizen beschreiben probabilistische Operationen im Kontext klassischer Information. Im Gegensatz dazu stellen Dichtematrizen zwar tatsächlich Matrizen dar, repräsentieren aber Zustände — keine Aktionen oder Operationen.

Ungeachtet dessen ist die Tatsache, dass Dichtematrizen (wie alle Matrizen) mit linearen Abbildungen assoziiert werden können, ein entscheidend wichtiger Aspekt von ihnen. Zum Beispiel beschreiben die Eigenwerte von Dichtematrizen die Zufälligkeit oder Unsicherheit, die den von ihnen dargestellten Zuständen innewohnt.

Lektionsvideo

Im folgenden Video führt dich John Watrous durch den Inhalt dieser Lektion über Dichtematrizen. Alternativ kannst du das YouTube-Video zu dieser Lektion in einem separaten Fenster öffnen. Lade die Folien zu dieser Lektion herunter.