Bloch-Kugel

Es gibt eine nützliche geometrische Darstellung von Qubit-Zuständen, die als Bloch-Kugel bekannt ist. Sie ist sehr praktisch, funktioniert jedoch leider nur für Qubits — die analoge Darstellung entspricht keinem kugelförmigen Objekt mehr, sobald unser System drei oder mehr klassische Zustände hat.

Qubit-Zustände als Punkte auf einer Kugel

Beginnen wir damit, einen Quantenzustandsvektor eines Qubits zu betrachten: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$. Wir können unsere Aufmerksamkeit auf Vektoren beschränken, bei denen $\alpha$ eine nichtnegative reelle Zahl ist, weil jeder Qubit-Zustandsvektor bis auf eine globale Phase äquivalent zu einem Vektor ist, für den $\alpha \geq 0$ gilt. Das erlaubt uns, zu schreiben

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

für zwei reelle Zahlen $\theta \in [0,\pi]$ und $\phi\in[0,2\pi)$. Hierbei lassen wir $\theta$ von $0$ bis $\pi$ variieren und teilen durch $2$ im Argument von Sinus und Kosinus, da dies eine konventionelle Methode zur Parametrisierung von Vektoren dieser Art ist, was die Dinge etwas später vereinfacht.

Nun sind die Zahlen $\theta$ und $\phi$ nicht exakt eindeutig durch einen gegebenen Quantenzustandsvektor $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ bestimmt, aber fast. Insbesondere gilt: Wenn $\beta = 0$, dann ist $\theta = 0$, und es macht keinen Unterschied, welchen Wert $\phi$ annimmt, sodass es beliebig gewählt werden kann. Ebenso gilt: Wenn $\alpha = 0$, dann ist $\theta = \pi$, und erneut ist $\phi$ irrelevant (da unser Zustand für jedes $\phi$ bis auf eine globale Phase äquivalent zu $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ ist). Wenn jedoch weder $\alpha$ noch $\beta$ null ist, dann gibt es eine eindeutige Wahl des Paars $(\theta,\phi)$, für das $\vert\psi\rangle$ bis auf eine globale Phase äquivalent zu $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ ist.

Betrachten wir nun die Dichtematrixdarstellung dieses Zustands.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Wir können einige trigonometrische Identitäten verwenden,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

sowie die Formel $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$, um die Dichtematrix wie folgt zu vereinfachen.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Das macht es einfach, diese Dichtematrix als Linearkombination der Pauli-Matrizen auszudrücken:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Konkret ergibt sich daraus

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Die Koeffizienten von $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\sigma_z$ im Zähler dieses Ausdrucks sind allesamt reelle Zahlen, sodass wir sie zu einem Vektor in einem gewöhnlichen dreidimensionalen euklidischen Raum zusammenfassen können.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

Tatsächlich ist dies ein Einheitsvektor. In Kugelkoordinaten lässt er sich als $(1,\theta,\phi)$ schreiben. Die erste Koordinate, $1$, repräsentiert den Radius oder radialen Abstand (der in diesem Fall immer $1$ beträgt), $\theta$ repräsentiert den Polarwinkel und $\phi$ den Azimutwinkel.

Wenn wir uns die Kugel als die Erde vorstellen, gibt der Polarwinkel $\theta$ an, wie weit wir vom Nordpol aus nach Süden drehen, um den beschriebenen Punkt zu erreichen, von $0$ bis $\pi = 180°$, während der Azimutwinkel $\phi$ angibt, wie weit wir vom Nullmeridian aus nach Osten drehen, von $0$ bis $2\pi = 360°$. Dabei wird der Nullmeridian als die Kurve auf der Kugeloberfläche definiert, die von einem Pol zum anderen durch die positive $x$-Achse verläuft.

Jeder Punkt auf der Kugel kann auf diese Weise beschrieben werden — das heißt, die Punkte, die wir erhalten, wenn wir über alle möglichen reinen Zustände eines Qubits variieren, entsprechen genau einer Kugel in $3$ reellen Dimensionen. (Diese Kugel wird üblicherweise Einheits-$2$-Sphäre genannt, weil die Oberfläche dieser Kugel zweidimensional ist.)

Wenn wir Punkte auf der Einheits-$2$-Sphäre mit reinen Zuständen von Qubits assoziieren, erhalten wir die Bloch-Kugel-Darstellung dieser Zustände.

Sechs wichtige Beispiele

1. Die Standardbasis $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$. Beginnen wir mit dem Zustand $\vert 0\rangle$. Als Dichtematrix lässt er sich so schreiben.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Indem wir die Koeffizienten der Pauli-Matrizen im Zähler sammeln, sehen wir, dass der entsprechende Punkt auf der Einheits-2-Sphäre in kartesischen Koordinaten $(0,0,1)$ ist. In Kugelkoordinaten ist dieser Punkt $(1,0,\phi)$, wobei $\phi$ ein beliebiger Winkel sein kann. Das ist konsistent mit dem Ausdruck

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   der ebenfalls für jedes $\phi$ gilt. Anschaulich gesprochen: Der Polarwinkel $\theta$ ist null, wir befinden uns also am Nordpol der Bloch-Kugel, wo der Azimutwinkel irrelevant ist.

   Entsprechend lässt sich die Dichtematrix für den Zustand $\vert 1\rangle$ so schreiben.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   Diesmal sind die kartesischen Koordinaten $(0,0,-1)$. In Kugelkoordinaten ist dieser Punkt $(1,\pi,\phi)$, wobei $\phi$ ein beliebiger Winkel sein kann. In diesem Fall ist der Polarwinkel genau $\pi$, wir befinden uns also am Südpol, wo der Azimutwinkel erneut irrelevant ist.

2. Die Basis $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$. Für die Dichtematrizen dieser Zustände gelten folgende Ausdrücke.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Die entsprechenden Punkte auf der Einheits-2-Sphäre haben kartesische Koordinaten $(1,0,0)$ und $(-1,0,0)$, und Kugelkoordinaten $(1,\pi/2,0)$ und $(1,\pi/2,\pi)$ beziehungsweise.

   Mit anderen Worten: $\vert +\rangle$ entspricht dem Punkt, an dem die positive $x$-Achse die Einheits-2-Sphäre schneidet, und $\vert -\rangle$ entspricht dem Punkt, an dem die negative $x$-Achse sie schneidet. Anschaulicher ausgedrückt: $\vert +\rangle$ befindet sich am Äquator der Bloch-Kugel, wo dieser den Nullmeridian schneidet, und $\vert - \rangle$ befindet sich am Äquator auf der gegenüberliegenden Seite der Kugel.

3. Die Basis $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}$. Wie wir bereits früher in dieser Lektion gesehen haben, sind diese beiden Zustände wie folgt definiert:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   Diesmal erhalten wir folgende Ausdrücke.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Die entsprechenden Punkte auf der Einheits-2-Sphäre haben kartesische Koordinaten $(0,1,0)$ und $(0,-1,0)$, und Kugelkoordinaten $(1,\pi/2,\pi/2)$ und $(1,\pi/2,3\pi/2)$ beziehungsweise.

   Mit anderen Worten: $\vert {+i} \rangle$ entspricht dem Punkt, an dem die positive $y$-Achse die Einheits-2-Sphäre schneidet, und $\vert {-i} \rangle$ dem Punkt, an dem die negative $y$-Achse sie schneidet.

Hier ist eine weitere Klasse von Quantenzustandsvektoren, die im Laufe dieser Reihe immer wieder auftaucht — unter anderem bereits früher in dieser Lektion.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(für $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

Die Dichtematrixdarstellung jedes dieser Zustände ist wie folgt.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

Die folgende Abbildung illustriert die entsprechenden Punkte auf der Bloch-Kugel für einige Wahlen von $\alpha$.

Konvexkombinationen von Punkten

Ähnlich wie bereits für Dichtematrizen besprochen, können wir Konvexkombinationen von Punkten auf der Bloch-Kugel bilden, um Darstellungen von Qubit-Dichtematrizen zu erhalten. Im Allgemeinen ergeben sich dabei Punkte innerhalb der Bloch-Kugel, die Dichtematrizen von Zuständen darstellen, die nicht rein sind. Manchmal spricht man vom Bloch-Ball, wenn man explizit darauf hinweisen möchte, dass auch Punkte im Inneren der Bloch-Kugel als Darstellungen von Qubit-Dichtematrizen einbezogen werden.

Wir haben zum Beispiel gesehen, dass die Dichtematrix $\frac{1}{2}\mathbb{I}$, die den vollständig gemischten Zustand eines Qubits darstellt, auf diese zwei alternativen Weisen geschrieben werden kann:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{und}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Außerdem gilt

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

und allgemeiner können wir beliebige zwei orthogonale Qubit-Zustandsvektoren verwenden (die stets zwei antipodalen Punkten auf der Bloch-Kugel entsprechen). Wenn wir die entsprechenden Punkte auf der Bloch-Kugel auf ähnliche Weise mitteln, erhalten wir denselben Punkt, der in diesem Fall im Zentrum der Kugel liegt. Das ist konsistent mit der Beobachtung, dass

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

was uns die kartesischen Koordinaten $(0,0,0)$ liefert.

Ein anderes Beispiel für Konvexkombinationen von Bloch-Kugel-Punkten ist das im vorigen Unterabschnitt besprochene.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

Die folgende Abbildung veranschaulicht diese zwei verschiedenen Möglichkeiten, diese Dichtematrix als Konvexkombination reiner Zustände zu gewinnen.