Konvexkombinationen von Dichtematrizen

Probabilistische Auswahlen von Dichtematrizen

Ein wesentlicher Aspekt von Dichtematrizen ist, dass probabilistische Auswahlen von Quantenzuständen durch Konvexkombinationen ihrer zugehörigen Dichtematrizen dargestellt werden.

Wenn wir beispielsweise zwei Dichtematrizen, $\rho$ und $\sigma,$ haben, die Quantenzustände eines Systems $\mathsf{X}$ darstellen, und wir das System mit Wahrscheinlichkeit $p$ im Zustand $\rho$ und mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$ im Zustand $\sigma$ präparieren, dann wird der resultierende Quantenzustand durch die Dichtematrix

$$p \rho + (1 - p) \sigma.$$

dargestellt. Allgemeiner gilt: Wenn wir $m$ Quantenzustände haben, die durch Dichtematrizen $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ dargestellt werden, und ein System mit Wahrscheinlichkeit $p_k$ im Zustand $\rho_k$ für einen Wahrscheinlichkeitsvektor $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ präpariert wird, ist der resultierende Zustand durch die Dichtematrix

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k.$$

dargestellt. Das ist eine Konvexkombination der Dichtematrizen $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}.$

Daraus folgt: Wenn wir $m$ Quantenzustandsvektoren $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{m-1}\rangle$ haben und ein System mit Wahrscheinlichkeit $p_k$ für jedes $k\in\{0,\ldots,m-1\}$ im Zustand $\vert\psi_k\rangle$ präparieren, wird der erhaltene Zustand durch die Dichtematrix

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert.$$

dargestellt. Wenn zum Beispiel ein Qubit mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ im Zustand $\vert 0\rangle$ und mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ im Zustand $\vert + \rangle$ präpariert wird, ist die Dichtematrixdarstellung des erhaltenen Zustands gegeben durch

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

In der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation funktioniert das Mitteln von Quantenzustandsvektoren nicht. Zum Beispiel ist der Vektor

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert + \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm]\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm]\frac{\sqrt{2}}{4}\end{pmatrix}$$

kein gültiger Quantenzustandsvektor, da seine euklidische Norm nicht gleich $1$ ist. Ein extremeres Beispiel, das zeigt, dass das für Quantenzustandsvektoren nicht funktioniert: Wir wählen einen beliebigen Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$ und nehmen unseren Zustand als $\vert\psi\rangle$ mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ und $-\vert\psi\rangle$ mit Wahrscheinlichkeit $1/2.$ Diese Zustände unterscheiden sich um eine globale Phase, sind also eigentlich derselbe Zustand — aber das Mitteln ergibt den Nullvektor, der kein gültiger Quantenzustandsvektor ist.

Der vollständig gemischte Zustand

Angenommen, wir setzen den Zustand eines Qubits zufällig auf $\vert 0\rangle$ oder $\vert 1\rangle,$ jeweils mit Wahrscheinlichkeit $1/2.$ Die Dichtematrix, die den resultierenden Zustand darstellt, ist wie folgt.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \mathbb{I}$$

(In dieser Gleichung bezeichnet das Symbol $\mathbb{I}$ die $2\times 2$-Einheitsmatrix.) Das ist ein besonderer Zustand, der als vollständig gemischter Zustand bekannt ist. Er stellt vollständige Ungewissheit über den Zustand eines Qubits dar, ähnlich einem gleichverteilten zufälligen Bit im probabilistischen Kontext.

Angenommen, wir ändern nun das Verfahren: Statt der Zustände $\vert 0\rangle$ und $\vert 1\rangle$ verwenden wir die Zustände $\vert + \rangle$ und $\vert - \rangle.$ Wir können die Dichtematrix, die den resultierenden Zustand beschreibt, auf ähnliche Weise berechnen.

$$\frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \mathbb{I}$$

Es ist dieselbe Dichtematrix wie zuvor, obwohl wir die Zustände geändert haben. Tatsächlich würden wir dasselbe Ergebnis — den vollständig gemischten Zustand — erhalten, indem wir beliebige zwei orthogonale Qubit-Zustandsvektoren für $\vert 0\rangle$ und $\vert 1\rangle$ einsetzen.

Das ist ein Feature, kein Bug! Wir erhalten tatsächlich denselben Zustand auf beide Weisen. Das heißt, es gibt keine Möglichkeit, die zwei Verfahren durch Messungen am erzeugten Qubit zu unterscheiden, nicht einmal statistisch. Unsere zwei verschiedenen Verfahren sind einfach verschiedene Möglichkeiten, diesen Zustand zu präparieren.

Wir können überprüfen, dass das Sinn ergibt, indem wir darüber nachdenken, was wir hoffen könnten zu erfahren, wenn wir einen Zustand aus einem der zwei möglichen Zustandsmengen $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$ und $\{\vert +\rangle,\vert -\rangle\}$ zufällig auswählen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass wir eine unitäre Operation $U$ auf unserem Qubit ausführen und dann in der Standardbasis messen.

Im ersten Szenario wird der Zustand des Qubits gleichmäßig aus der Menge $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$ gewählt. Wenn der Zustand $\vert 0\rangle$ ist, erhalten wir die Ergebnisse $0$ und $1$ mit Wahrscheinlichkeiten

$$\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 \quad\text{und}\quad \vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2$$

beziehungsweise. Wenn der Zustand $\vert 1\rangle$ ist, erhalten wir die Ergebnisse $0$ und $1$ mit Wahrscheinlichkeiten

$$\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \quad\text{und}\quad \vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2.$$

Da die zwei Möglichkeiten jeweils mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ eintreten, erhalten wir das Ergebnis $0$ mit Wahrscheinlichkeit

$$\frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2$$

und das Ergebnis $1$ mit Wahrscheinlichkeit

$$\frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2.$$

Beide Ausdrücke sind gleich $1/2.$ Eine Möglichkeit, das zu argumentieren, ist die Verwendung einer Tatsache aus der linearen Algebra, die als Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras betrachtet werden kann.

Theorem

Sei $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ eine Orthonormalbasis eines (reellen oder komplexen) Vektorraums $\mathcal{V}.$ Für jeden Vektor $\vert \phi\rangle \in \mathcal{V}$ gilt $\vert \langle \psi_1\vert\phi\rangle\vert^2 + \cdots + \vert \langle \psi_n \vert \phi \rangle\vert^2 = \| \vert\phi\rangle \|^2.$

Wir können dieses Theorem anwenden, um die Wahrscheinlichkeiten wie folgt zu bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit, $0$ zu erhalten, ist

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr) \\[2mm] & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U^{\dagger} \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U^{\dagger} \vert 0 \rangle \vert^2 \Bigr)\\[2mm] & = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 0 \rangle \bigr\|^2 \end{aligned}$$

und die Wahrscheinlichkeit, $1$ zu erhalten, ist

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr) \\[2mm] & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U^{\dagger} \vert 1 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U^{\dagger} \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr)\\[2mm] & = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 1 \rangle \bigr\|^2. \end{aligned}$$

Da $U$ unitär ist, wissen wir, dass auch $U^{\dagger}$ unitär ist, was impliziert, dass sowohl $U^{\dagger} \vert 0 \rangle$ als auch $U^{\dagger} \vert 1 \rangle$ Einheitsvektoren sind. Beide Wahrscheinlichkeiten sind daher gleich $1/2.$ Das bedeutet, dass wir aus der Messung egal wie wir $U$ wählen nur ein gleichverteiltes zufälliges Bit erhalten.

Wir können eine ähnliche Überprüfung für jedes andere Paar orthonormaler Zustände anstelle von $\vert 0\rangle$ und $\vert 1\rangle$ durchführen. Da $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$ eine Orthonormalbasis ist, ist die Wahrscheinlichkeit, das Messergebnis $0$ im zweiten Verfahren zu erhalten, zum Beispiel

$$\frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert + \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert - \rangle \vert^2 = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 0 \rangle \bigr\|^2 = \frac{1}{2}$$

und die Wahrscheinlichkeit, $1$ zu erhalten, ist

$$\frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert + \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert - \rangle \vert^2 = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 1 \rangle \bigr\|^2 = \frac{1}{2}.$$

Wir erhalten insbesondere exakt dieselben Ausgabestatistiken wie für die Zustände $\vert 0\rangle$ und $\vert 1\rangle.$

Probabilistische Zustände

Klassische Zustände können durch Dichtematrizen dargestellt werden. Für jeden klassischen Zustand $a$ eines Systems $\mathsf{X}$ stellt die Dichtematrix

$$\rho = \vert a\rangle \langle a \vert$$

das System $\mathsf{X}$ definitiv im klassischen Zustand $a$ dar. Für Qubits gilt

$$\vert 0\rangle \langle 0 \vert = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \quad\text{und}\quad \vert 1\rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},$$

und im Allgemeinen steht auf der Diagonale genau eine $1$ an der Position, die dem betrachteten klassischen Zustand entspricht, mit allen anderen Einträgen gleich null.

Wir können dann Konvexkombinationen dieser Dichtematrizen bilden, um probabilistische Zustände darzustellen. Angenommen zur Vereinfachung, unsere klassische Zustandsmenge ist $\{0,\ldots,n-1\}$: Wenn sich $\mathsf{X}$ mit Wahrscheinlichkeit $p_a$ für jedes $a\in\{0,\ldots,n-1\}$ im Zustand $a$ befindet, dann ist die erhaltene Dichtematrix

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert a\rangle \langle a \vert = \begin{pmatrix} p_0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & p_1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & p_{n-1} \end{pmatrix}.$$

In der umgekehrten Richtung kann jede diagonale Dichtematrix auf natürliche Weise mit dem probabilistischen Zustand identifiziert werden, den man erhält, indem man einfach den Wahrscheinlichkeitsvektor von der Diagonale abliest.

Um es klarzustellen: Wenn eine Dichtematrix diagonal ist, bedeutet das nicht notwendigerweise, dass wir über ein klassisches System sprechen oder dass das System durch zufällige Auswahl eines klassischen Zustands präpariert worden sein muss, sondern vielmehr, dass der Zustand hätte durch zufällige Auswahl eines klassischen Zustands erhalten werden können.

Die Tatsache, dass probabilistische Zustände durch diagonale Dichtematrizen dargestellt werden, ist konsistent mit der Intuition, die am Anfang der Lektion angedeutet wurde, dass außerdiagonale Einträge das Ausmaß beschreiben, in dem die zwei klassischen Zustände, die der Zeile und Spalte dieses Eintrags entsprechen, sich in Quantensuperposition befinden. Hier sind alle außerdiagonalen Einträge null, sodass wir nur klassische Zufälligkeit haben und sich nichts in Quantensuperposition befindet.

Dichtematrizen und der Spektralsatz

Wir haben gesehen, dass wir eine Dichtematrix erhalten, wenn wir eine Konvexkombination reiner Zustände bilden,

$$\rho = \sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert.$$

Tatsächlich kann jede Dichtematrix $\rho$ als Konvexkombination reiner Zustände wie dieser ausgedrückt werden. Das heißt, es wird stets eine Sammlung von Einheitsvektoren $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{m-1}\rangle\}$ und einen Wahrscheinlichkeitsvektor $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ geben, für die die obige Gleichung gilt.

Außerdem kann die Zahl $m$ stets so gewählt werden, dass sie mit der Anzahl der klassischen Zustände des betrachteten Systems übereinstimmt, und wir können die Quantenzustandsvektoren orthogonal wählen. Der Spektralsatz, dem wir im Kurs „Grundlagen der Quantenalgorithmen" begegnet sind, erlaubt uns, das zu schließen. Hier ist eine Neuformulierung des Spektralsatzes zur Erinnerung.

Theorem

Spektralsatz: Sei $M$ eine normale komplexe $n\times n$-Matrix. Es gibt eine Orthonormalbasis von $n$-dimensionalen komplexen Vektoren $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{n-1}\rangle \}$ zusammen mit komplexen Zahlen $\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}$, sodass

$$M = \lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert.$$

(Zur Erinnerung: Eine Matrix $M$ ist normal, wenn sie $M^{\dagger} M = M M^{\dagger}$ erfüllt. Normale Matrizen sind also Matrizen, die mit ihrer eigenen konjugierten Transponierten kommutieren.)

Wir können den Spektralsatz auf jede gegebene Dichtematrix $\rho$ anwenden, weil Dichtematrizen stets hermitesch und daher normal sind. Das erlaubt uns, zu schreiben

$$\rho = \lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert$$

für eine Orthonormalbasis $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{n-1}\rangle\}.$ Es bleibt zu überprüfen, dass $(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1})$ ein Wahrscheinlichkeitsvektor ist, den wir dann auf Wunsch in $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ umbenennen können.

Die Zahlen $\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}$ sind die Eigenwerte von $\rho,$ und da $\rho$ positiv-semidefinit ist, müssen diese Zahlen daher nichtnegative reelle Zahlen sein. Wir können $\lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} = 1$ aus der Tatsache schließen, dass $\rho$ die Spur $1$ hat. Beim Durcharbeiten der Details ergibt sich die Gelegenheit, auf folgende wichtige und sehr nützliche Eigenschaft der Spur hinzuweisen.

Theorem

Zyklische Eigenschaft der Spur: Für beliebige zwei Matrizen $A$ und $B$, die durch Multiplikation eine quadratische Matrix $AB$ ergeben, gilt die Gleichheit $\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA).$

Beachte, dass dieses Theorem auch funktioniert, wenn $A$ und $B$ nicht selbst quadratische Matrizen sind. Das heißt, $A$ kann $n\times m$ und $B$ kann $m\times n$ für eine Wahl positiver ganzer Zahlen $n$ und $m$ sein, sodass $AB$ eine quadratische $n\times n$-Matrix und $BA$ eine quadratische $m\times m$-Matrix ist.

Wenn wir insbesondere $A$ als Spaltenvektor $\vert\phi\rangle$ und $B$ als Zeilenvektor $\langle \phi\vert$ nehmen, sehen wir, dass

$$\operatorname{Tr}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(\langle\phi\vert\phi\rangle\bigr) = \langle\phi\vert\phi\rangle.$$

Die zweite Gleichheit folgt aus der Tatsache, dass $\langle\phi\vert\phi\rangle$ ein Skalar ist, den wir auch als $1\times 1$-Matrix betrachten können, deren Spur ihr einziger Eintrag ist. Mit dieser Tatsache und der Linearität der Spurfunktion können wir $\lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} = 1$ schließen.

$$\begin{gathered} 1 = \operatorname{Tr}(\rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert\bigr)\\[2mm] = \lambda_0 \operatorname{Tr}\bigl(\vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert\bigr) + \cdots + \lambda_{n-1} \operatorname{Tr}\bigl(\vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert\bigr) = \lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} \end{gathered}$$

Alternativ können wir dieselbe Schlussfolgerung ziehen, indem wir die Tatsache nutzen, dass die Spur einer quadratischen Matrix (auch einer nicht normalen) gleich der Summe ihrer Eigenwerte ist.

Wir haben damit gezeigt, dass jede gegebene Dichtematrix $\rho$ als Konvexkombination reiner Zustände ausgedrückt werden kann. Wir sehen auch, dass wir außerdem die reinen Zustände orthogonal wählen können. Das bedeutet insbesondere, dass wir die Zahl $m$ nie größer als die Größe der klassischen Zustandsmenge von $\mathsf{X}$ zu wählen brauchen.

Im Allgemeinen muss verstanden werden, dass es verschiedene Möglichkeiten geben wird, eine Dichtematrix als Konvexkombination reiner Zustände zu schreiben, nicht nur die Möglichkeiten, die der Spektralsatz liefert. Ein früheres Beispiel veranschaulicht das.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

Das ist keine Spektralzerlegung dieser Matrix, weil $\vert 0\rangle$ und $\vert + \rangle$ nicht orthogonal sind. Hier ist eine Spektralzerlegung:

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert,$$

wobei $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta)\vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ Die Eigenwerte sind Zahlen, die vertraut aussehen dürften:

$$\cos^2(\pi/8) = \frac{2+\sqrt{2}}{4} \approx 0{,}85 \quad\text{und}\quad \sin^2(\pi/8) = \frac{2-\sqrt{2}}{4} \approx 0{,}15.$$

Die Eigenvektoren können explizit so geschrieben werden.

$$\begin{aligned} \vert\psi_{\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[3mm] \vert\psi_{5\pi/8}\rangle & = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \end{aligned}$$

Als weiteres, allgemeineres Beispiel: Angenommen, $\vert \phi_0\rangle,\ldots,\vert \phi_{99} \rangle$ sind Quantenzustandsvektoren, die Zustände eines einzelnen Qubits darstellen, beliebig gewählt — wir nehmen also keine bestimmten Beziehungen zwischen diesen Vektoren an. Wir könnten dann den Zustand betrachten, den wir erhalten, wenn wir einen dieser $100$ Zustände gleichmäßig zufällig auswählen:

$$\rho = \frac{1}{100} \sum_{k = 0}^{99} \vert \phi_k\rangle\langle \phi_k \vert.$$

Da wir über ein Qubit sprechen, ist die Dichtematrix $\rho$ eine $2\times 2$-Matrix, sodass wir sie durch den Spektralsatz alternativ schreiben könnten als

$$\rho = p \vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert + (1 - p) \vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert$$

für eine reelle Zahl $p\in[0,1]$ und eine Orthonormalbasis $\{\vert\psi_0\rangle,\vert\psi_1\rangle\}$ — aber die Existenz dieses Ausdrucks hindert uns natürlich nicht daran, $\rho$ als Durchschnitt von 100 reinen Zuständen zu schreiben, wenn wir das tun möchten.