Grundlagen der Dichtematrizen

Wir beginnen damit, Dichtematrizen in mathematischen Begriffen zu beschreiben, und betrachten dann einige Beispiele. Danach diskutieren wir einige grundlegende Aspekte der Funktionsweise von Dichtematrizen und ihres Zusammenhangs mit Quantenzustandsvektoren in der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation.

Definition

Angenommen, wir haben ein Quantensystem namens $\mathsf{X},$ und $\Sigma$ ist die (endliche und nichtleere) klassische Zustandsmenge dieses Systems. Wir verwenden hier die Namenskonventionen aus dem Kurs „Grundlagen der Quanteninformation", die wir beibehalten werden, wo immer sich die Gelegenheit bietet.

In der allgemeinen Formulierung der Quanteninformation wird ein Quantenzustand des Systems $\mathsf{X}$ durch eine Dichtematrix $\rho$ beschrieben, deren Einträge komplexe Zahlen sind und deren Indizes (sowohl für Zeilen als auch für Spalten) in Entsprechung zur klassischen Zustandsmenge $\Sigma$ gesetzt wurden. Der griechische Kleinbuchstabe $\rho$ ist die übliche erste Wahl für den Namen einer Dichtematrix, obwohl auch $\sigma$ und $\xi$ gebräuchlich sind.

Hier sind einige Beispiele für Dichtematrizen, die Zustände von Qubits beschreiben:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{und}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Zu sagen, dass $\rho$ eine Dichtematrix ist, bedeutet, dass diese beiden Bedingungen, die gleich erläutert werden, beide erfüllt sind:

1. Einheitsspur: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Positiv-Semidefinitheit: $\rho \geq 0.$

Die Spur einer Matrix

Die erste Bedingung an Dichtematrizen bezieht sich auf die Spur einer Matrix. Dies ist eine Funktion, die für alle quadratischen Matrizen als die Summe der Diagonaleinträge definiert ist:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Die Spur ist eine lineare Funktion: Für beliebige zwei quadratische Matrizen $A$ und $B$ gleicher Größe und zwei komplexe Zahlen $\alpha$ und $\beta$ gilt stets die folgende Gleichung.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Die Spur ist eine äußerst wichtige Funktion, und es gibt noch viel mehr darüber zu sagen – wir werden das jedoch auf den Moment verschieben, in dem Bedarf besteht.

Positiv-semidefinite Matrizen

Die zweite Bedingung bezieht sich auf die Eigenschaft einer Matrix, positiv-semidefinit zu sein, was ein grundlegendes Konzept in der Quanteninformationstheorie und vielen anderen Gebieten ist. Eine Matrix $P$ ist positiv-semidefinit, wenn eine Matrix $M$ existiert, sodass

$$P = M^{\dagger} M.$$

Hierbei können wir entweder verlangen, dass $M$ eine quadratische Matrix gleicher Größe wie $P$ ist, oder es ihr erlauben, nicht-quadratisch zu sein — in beiden Fällen erhalten wir dieselbe Klasse von Matrizen.

Es gibt mehrere alternative (aber äquivalente) Möglichkeiten, diese Bedingung zu definieren, darunter:

• Eine Matrix $P$ ist genau dann positiv-semidefinit, wenn $P$ hermitesch ist (d.h. gleich ihrer eigenen konjugierten Transponierten) und alle ihre Eigenwerte nichtnegative reelle Zahlen sind. Zu prüfen, ob eine Matrix hermitesch ist und ob alle ihre Eigenwerte nichtnegativ sind, ist eine einfache rechnerische Methode, um positive Semidefinitheit zu verifizieren.

• Eine Matrix $P$ ist genau dann positiv-semidefinit, wenn $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ für jeden komplexen Vektor $\vert\psi\rangle$ gilt, der dieselben Indizes wie die Zeilen und Spalten von $P$ hat.

Eine anschauliche Art, über positiv-semidefinite Matrizen nachzudenken, ist, sie als Matrixanaloga nichtnegativer reeller Zahlen zu betrachten. Das heißt, positiv-semidefinite Matrizen verhalten sich zu komplexen quadratischen Matrizen wie nichtnegative reelle Zahlen zu komplexen Zahlen. Zum Beispiel ist eine komplexe Zahl $\alpha$ genau dann eine nichtnegative reelle Zahl, wenn

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

für irgendeine komplexe Zahl $\beta$ gilt, was der Definition der positiv-semidefiniten Eigenschaft entspricht, wenn wir Matrizen durch Skalare ersetzen. Obwohl Matrizen im Allgemeinen kompliziertere Objekte als Skalare sind, ist das dennoch eine hilfreiche Weise, über positiv-semidefinite Matrizen nachzudenken.

Das erklärt auch die übliche Notation $P\geq 0$, die anzeigt, dass $P$ positiv-semidefinit ist. Beachte insbesondere, dass $P\geq 0$ in diesem Kontext nicht bedeutet, dass jeder Eintrag von $P$ nichtnegativ ist; es gibt positiv-semidefinite Matrizen mit negativen Einträgen, genauso wie Matrizen, deren Einträge alle positiv sind, die aber nicht positiv-semidefinit sind.

Interpretation von Dichtematrizen

An diesem Punkt mag die Definition von Dichtematrizen recht willkürlich und abstrakt erscheinen, da wir diesen Matrizen oder ihren Einträgen noch keine Bedeutung zugeordnet haben. Wie Dichtematrizen funktionieren und interpretiert werden können, wird im weiteren Verlauf der Lektion klarer werden, aber vorerst kann es hilfreich sein, über die Einträge von Dichtematrizen in folgender (etwas informeller) Weise nachzudenken.

• Die diagonalen Einträge einer Dichtematrix geben uns die Wahrscheinlichkeiten für jeden klassischen Zustand, bei einer Standardbasismessung zu erscheinen — wir können diese Einträge also als Beschreibung des „Gewichts" oder der „Wahrscheinlichkeit" betrachten, die jedem klassischen Zustand zugeordnet ist.

• Die außerdiagonalen Einträge einer Dichtematrix beschreiben das Ausmaß, in dem die beiden klassischen Zustände, die diesem Eintrag entsprechen (also der der Zeile und der der Spalte), sich in Quantensuperposition befinden, sowie die relative Phase zwischen ihnen.

Es ist sicherlich nicht von vornherein offensichtlich, dass Quantenzustände durch Dichtematrizen dargestellt werden sollten. Tatsächlich gibt es einen Sinn, in dem die Wahl, Quantenzustände durch Dichtematrizen darzustellen, natürlicherweise zur gesamten mathematischen Beschreibung der Quanteninformation führt. Alles andere über Quanteninformation folgt eigentlich recht logisch aus dieser einen Wahl!

Zusammenhang mit Quantenzustandsvektoren

Zur Erinnerung: Ein Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$, der einen Quantenzustand von $\mathsf{X}$ beschreibt, ist ein Spaltenvektor mit euklidischer Norm gleich $1$, dessen Einträge in Entsprechung zur klassischen Zustandsmenge $\Sigma$ gesetzt wurden. Die Dichtematrixdarstellung $\rho$ desselben Zustands ist wie folgt definiert.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Um es klarzustellen: Wir multiplizieren einen Spaltenvektor mit einem Zeilenvektor, sodass das Ergebnis eine quadratische Matrix ist, deren Zeilen und Spalten $\Sigma$ entsprechen. Matrizen dieser Form sind neben der positiven Semidefinitheit stets Projektionen und haben Rang gleich $1.$

Definieren wir als Beispiel zwei Qubit-Zustandsvektoren.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Die Dichtematrizen, die diesen beiden Vektoren entsprechen, sind wie folgt.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Hier ist eine Tabelle mit diesen Zuständen und einigen weiteren grundlegenden Beispielen: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ und $\vert {-}\rangle.$ Wir werden diese sechs Zustände später in der Lektion erneut antreffen.

Zustandsvektor	Dichtematrix
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Als weiteres Beispiel betrachten wir einen Zustand aus der Lektion Einzelne Systeme des Kurses „Grundlagen der Quanteninformation", einschließlich beider Darstellungen als Zustandsvektor und als Dichtematrix.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Dichtematrizen, die die Form $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ für einen Quantenzustandsvektor $\vert \psi \rangle$ annehmen, werden als reine Zustände bezeichnet. Nicht jede Dichtematrix lässt sich in dieser Form schreiben; manche Zustände sind nicht rein.

Als Dichtematrizen haben reine Zustände stets einen Eigenwert gleich $1$ und alle anderen Eigenwerte gleich $0.$ Dies ist konsistent mit der Interpretation, dass die Eigenwerte einer Dichtematrix die dem Zustand innewohnende Zufälligkeit oder Unsicherheit beschreiben. Im Wesentlichen gibt es keine Unsicherheit für einen reinen Zustand $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — der Zustand ist definitiv $\vert \psi \rangle.$

Im Allgemeinen ist für einen Quantenzustandsvektor

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

für ein System mit $n$ klassischen Zuständen die Dichtematrixdarstellung desselben Zustands wie folgt.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Im Spezialfall reiner Zustände lässt sich also verifizieren, dass die diagonalen Einträge einer Dichtematrix die Wahrscheinlichkeiten beschreiben, dass eine Standardbasismessung jeden möglichen klassischen Zustand ausgibt.

Eine abschließende Bemerkung zu reinen Zuständen: Dichtematrizen beseitigen die Mehrdeutigkeit bezüglich globaler Phasen, die bei Quantenzustandsvektoren auftritt. Angenommen, wir haben zwei Quantenzustandsvektoren, die sich um eine globale Phase unterscheiden: $\vert \psi \rangle$ und $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ für eine reelle Zahl $\theta.$ Da sie sich um eine globale Phase unterscheiden, stellen diese Vektoren exakt denselben Quantenzustand dar, obwohl die Vektoren unterschiedlich sein mögen. Die Dichtematrizen, die wir aus diesen beiden Zustandsvektoren erhalten, sind hingegen identisch.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Im Allgemeinen bieten Dichtematrizen eine eindeutige Darstellung von Quantenzuständen: Zwei Quantenzustände sind identisch und erzeugen genau dieselben Ergebnisstatistiken für jede mögliche Messung, die an ihnen durchgeführt werden kann, genau dann, wenn ihre Dichtematrixdarstellungen gleich sind. In mathematischer Sprache ausgedrückt bedeutet das, dass Dichtematrizen eine treue Darstellung von Quantenzuständen bieten.