Darstellungen von Kanälen

Als Nächstes besprechen wir mathematische Darstellungen von Kanälen.

Lineare Abbildungen von Vektoren auf Vektoren lassen sich auf bekannte Weise durch Matrizen darstellen, wobei die Wirkung der linearen Abbildung durch Matrix-Vektor-Multiplikation beschrieben wird. Kanäle hingegen sind lineare Abbildungen von Matrizen auf Matrizen, nicht von Vektoren auf Vektoren. Wie können wir Kanäle also im Allgemeinen mathematisch ausdrücken?

Für einige Kanäle gibt es vielleicht eine einfache Formel, die sie beschreibt – wie etwa für die drei zuvor beschriebenen Beispiele nicht-unitärer Qubit-Kanäle. Ein beliebiger Kanal hat jedoch möglicherweise keine so schöne Formel, sodass es im Allgemeinen nicht praktikabel ist, einen Kanal auf diese Weise auszudrücken.

Zum Vergleich: In der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation verwenden wir unitäre Matrizen, um Operationen auf Quantenzustandsvektoren darzustellen: Jede unitäre Matrix stellt eine gültige Operation dar, und jede gültige Operation lässt sich als unitäre Matrix ausdrücken. Im Kern lautet die Frage also: Wie können wir etwas Analoges für Kanäle tun?

Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir einige zusätzliche mathematische Hilfsmittel. Wir werden sehen, dass Kanäle tatsächlich auf verschiedene Weisen mathematisch beschrieben werden können, darunter Darstellungen, die nach drei Personen benannt sind, die bei ihrer Entwicklung eine Schlüsselrolle gespielt haben: Stinespring, Kraus, und Choi. Zusammen bieten diese verschiedenen Beschreibungsweisen unterschiedliche Perspektiven, unter denen Kanäle betrachtet und analysiert werden können.

Stinespring-Darstellungen

Stinespring-Darstellungen basieren auf der Idee, dass jeder Kanal auf eine Standardweise implementiert werden kann: Das Eingabesystem wird zunächst mit einem initialisierten Arbeitsbereichssystem kombiniert, wodurch ein zusammengesetztes System entsteht; dann wird eine unitäre Operation auf dem zusammengesetzten System durchgeführt; und schließlich wird das Arbeitsbereichssystem verworfen (oder ausgetraced), sodass die Ausgabe des Kanals übrig bleibt.

Die folgende Abbildung zeigt eine solche Implementierung in Form eines Schaltkreisdiagramms für einen Kanal, dessen Eingabe- und Ausgabesystem dasselbe System $\mathsf{X}$ ist.

In diesem Diagramm repräsentieren die Drähte beliebige Systeme, wie die Beschriftungen über den Drähten anzeigen, und nicht unbedingt einzelne Qubits. Das in der Elektrotechnik übliche Masse-Symbol gibt explizit an, dass $\mathsf{W}$ verworfen wird.

Die Funktionsweise der Implementierung lässt sich wie folgt beschreiben. Das Eingabesystem $\mathsf{X}$ beginnt in einem beliebigen Zustand $\rho,$ während ein Arbeitsbereichssystem $\mathsf{W}$ auf den Standardbasiszustand $\vert 0\rangle$ initialisiert wird. Eine unitäre Operation $U$ wird auf dem Paar $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ durchgeführt, und schließlich wird das Arbeitsbereichssystem $\mathsf{W}$ ausgetraced, sodass $\mathsf{X}$ als Ausgabe übrig bleibt.

Wir gehen davon aus, dass $0$ ein klassischer Zustand von $\mathsf{W}$ ist, und wählen ihn als Initialisierungszustand dieses Systems, was die Mathematik vereinfacht. Man könnte jedoch auch einen beliebigen festen reinen Zustand als Initialisierungszustand von $\mathsf{W}$ wählen, ohne die grundlegenden Eigenschaften der Darstellung zu ändern.

Ein mathematischer Ausdruck für den resultierenden Kanal $\Phi$ lautet wie folgt.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Wie üblich verwenden wir die Konvention von Qiskit: Das System $\mathsf{X}$ befindet sich oben im Diagramm und entspricht daher dem rechten Tensorfaktor in der Formel.

Im Allgemeinen müssen Eingabe- und Ausgabesystem eines Kanals nicht identisch sein. Hier ist eine Abbildung, die eine Implementierung eines Kanals $\Phi$ zeigt, dessen Eingabesystem $\mathsf{X}$ und dessen Ausgabesystem $\mathsf{Y}$ ist.

In diesem Fall transformiert die unitäre Operation $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ in ein Paar $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ wobei $\mathsf{G}$ ein neues „Müll"-System ist, das ausgetraced wird, sodass $\mathsf{Y}$ als Ausgabesystem übrig bleibt. Damit $U$ unitär ist, muss es eine quadratische Matrix sein. Dies erfordert, dass das Paar $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ dieselbe Anzahl klassischer Zustände hat wie das Paar $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ sodass $\mathsf{W}$ und $\mathsf{G}$ entsprechend gewählt werden müssen.

Wir erhalten einen mathematischen Ausdruck für den resultierenden Kanal $\Phi,$ der dem vorherigen ähnelt.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Wenn ein Kanal auf diese Weise beschrieben wird – als unitäre Operation zusammen mit einer Angabe, wie das Arbeitsbereichssystem initialisiert wird und wie das Ausgabesystem ausgewählt wird – sagen wir, er ist in Stinespring-Form ausgedrückt oder er ist eine Stinespring-Darstellung des Kanals.

Es ist keineswegs offensichtlich, aber jeder Kanal hat tatsächlich eine Stinespring-Darstellung, wie wir am Ende der Lektion sehen werden. Wir werden auch sehen, dass Stinespring-Darstellungen nicht eindeutig sind; es gibt immer verschiedene Möglichkeiten, denselben Kanal auf die beschriebene Weise zu implementieren.

Bemerkung

Im Kontext der Quanteninformation bezieht sich der Begriff Stinespring-Darstellung üblicherweise auf einen etwas allgemeineren Ausdruck eines Kanals der Form

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

für eine Isometrie $A,$ also eine Matrix, deren Spalten orthonormal sind, die aber nicht unbedingt quadratisch ist. Für Stinespring-Darstellungen in der Form, die wir als Definition übernommen haben, lässt sich ein Ausdruck dieser anderen Form erhalten, indem man

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

setzt.

Vollständig dephsierender Kanal

Hier ist eine Stinespring-Darstellung des Qubit-Dephasing-Kanals $\Delta.$ In diesem Diagramm repräsentieren beide Drähte einzelne Qubits – es handelt sich also um ein gewöhnliches Quantenschaltkreisdiagramm.

Um zu sehen, dass die Wirkung dieses Schaltkreises auf das Eingangsqubit tatsächlich durch den vollständig dephsierenden Kanal beschrieben wird, können wir den Schaltkreis Schritt für Schritt durchgehen und dabei die explizite Matrixdarstellung der partiellen Spur aus der vorherigen Lektion verwenden. Wir bezeichnen das obere Qubit als $\mathsf{X}$ – das ist der Eingang und Ausgang des Kanals – und nehmen an, dass $\mathsf{X}$ in einem beliebigen Zustand $\rho$ startet.

Der erste Schritt ist die Einführung eines Arbeitsbereichsqubits $\mathsf{W}.$ Bevor das kontrollierte NICHT-Gate ausgeführt wird, wird der Zustand des Paares $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ durch folgende Dichtematrix dargestellt.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Gemäß der Qiskit-Konvention befindet sich das obere Qubit $\mathsf{X}$ rechts und das untere Qubit $\mathsf{W}$ links. Wir verwenden Dichtematrizen anstelle von Quantenzustandsvektoren, aber sie werden auf ähnliche Weise tensoriert wie in der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation.

Der nächste Schritt ist die Ausführung der kontrollierten NICHT-Operation, wobei $\mathsf{X}$ das Kontroll- und $\mathsf{W}$ das Ziel-Qubit ist. Unter Berücksichtigung der Qiskit-Konvention lautet die Matrixdarstellung dieses Gates wie folgt.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Dies ist eine unitäre Operation, und um sie auf eine Dichtematrix anzuwenden, konjugieren wir mit der unitären Matrix. Die konjugierte Transponierte ändert diese spezielle Matrix nicht, sodass sich folgendes Ergebnis ergibt.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Schließlich wird die partielle Spur über $\mathsf{W}$ gebildet. Wenn wir die Wirkung dieser Operation auf $4\times 4$-Matrizen aus der vorherigen Lektion in Erinnerung rufen, erhalten wir folgende Dichtematrix als Ausgabe.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Alternativ können wir die partielle Spur berechnen, indem wir zunächst in die Dirac-Notation umrechnen.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

Das Austrachen des linken Qubits ergibt dasselbe Ergebnis wie zuvor.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

Eine anschauliche Interpretation dieses Schaltkreises: Die kontrollierte NICHT-Operation kopiert effektiv den klassischen Zustand des Eingangsqubits, und wenn die Kopie weggeworfen wird, „kollabiert" das Eingangsqubit probabilistisch auf einen der beiden möglichen klassischen Zustände, was vollständigem Dephasing entspricht.

Vollständig dephsierender Kanal (Alternative)

Der oben beschriebene Schaltkreis ist nicht die einzige Möglichkeit, den vollständig dephsierenden Kanal zu implementieren. Hier ist eine andere Möglichkeit.

Hier ist eine kurze Analyse, die zeigt, dass diese Implementierung funktioniert. Nach dem Hadamard-Gate haben wir diesen Zwei-Qubit-Zustand als Dichtematrix:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Das kontrollierte $\sigma_z$-Gate wirkt durch Konjugation wie folgt.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Schließlich wird das Arbeitsbereichssystem $\mathsf{W}$ ausgetraced.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Diese Implementierung beruht auf einer einfachen Idee: Dephasing ist äquivalent dazu, entweder nichts zu tun (d.h. eine Identitätsoperation anzuwenden) oder ein $\sigma_z$-Gate anzuwenden, jeweils mit Wahrscheinlichkeit $1/2.$

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Der vollständig dephsierende Kanal ist also ein Beispiel für einen gemischt-unitären Kanal und insbesondere einen Pauli-Kanal.

Qubit-Reset-Kanal

Der Qubit-Reset-Kanal lässt sich wie folgt implementieren.

Das SWAP-Gate verschiebt einfach den $\vert 0\rangle$-Initialisierungszustand des Arbeitsbereichsqubits so, dass er als Ausgabe ausgegeben wird, während der Eingangszustand $\rho$ zum unteren Qubit bewegt und dann ausgetraced wird.

Alternativ, wenn wir nicht verlangen, dass die Ausgabe des Kanals oben bleibt, können wir diesen sehr einfachen Schaltkreis als unsere Darstellung verwenden.

Kurz gesagt: Ein Qubit auf den Zustand $\vert 0\rangle$ zurückzusetzen ist äquivalent dazu, das Qubit wegzuwerfen und ein neues zu nehmen.

Kraus-Darstellungen

Jetzt besprechen wir Kraus-Darstellungen, die eine praktische formelhafte Möglichkeit bieten, die Wirkung eines Kanals durch Matrixmultiplikation und -addition auszudrücken. Insbesondere ist eine Kraus-Darstellung eine Beschreibung eines Kanals $\Phi$ in folgender Form.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Hier sind $A_0,\ldots,A_{N-1}$ Matrizen, die alle dieselben Dimensionen haben: Ihre Spalten entsprechen den klassischen Zuständen des Eingabesystems $\mathsf{X},$ und ihre Zeilen entsprechen den klassischen Zuständen des Ausgabesystems, ob es $\mathsf{X}$ oder ein anderes System $\mathsf{Y}$ ist. Damit $\Phi$ ein gültiger Kanal ist, müssen diese Matrizen folgende Bedingung erfüllen.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Diese Bedingung ist äquivalent zur Bedingung, dass $\Phi$ die Spur erhält. Die andere geforderte Eigenschaft eines Kanals – die vollständige Positivität – folgt aus der allgemeinen Form der Gleichung für $\Phi$ als Summe von Konjugationen.

Manchmal ist es praktisch, die Matrizen $A_0,\ldots,A_{N-1}$ anders zu benennen. Zum Beispiel könnten wir sie ab $1$ nummerieren oder Zustände aus einem beliebigen klassischen Zustandsset $\Gamma$ als Indizes verwenden:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{wobei} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Diese verschiedenen Benennungsmöglichkeiten für diese Matrizen, die Kraus-Matrizen genannt werden, sind alle gebräuchlich und können in verschiedenen Situationen praktisch sein – in dieser Lektion verwenden wir der Einfachheit halber jedoch die Namen $A_0,\ldots,A_{N-1}.$

Die Zahl $N$ kann eine beliebige positive ganze Zahl sein, muss aber nie zu groß sein: Wenn das Eingabesystem $\mathsf{X}$ $n$ klassische Zustände und das Ausgabesystem $\mathsf{Y}$ $m$ klassische Zustände hat, dann hat jeder gegebene Kanal von $\mathsf{X}$ nach $\mathsf{Y}$ immer eine Kraus-Darstellung, für die $N$ höchstens das Produkt $nm$ ist.

Vollständig dephsierender Kanal

Wir erhalten eine Kraus-Darstellung des vollständig dephsierenden Kanals, indem wir $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ und $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert$ wählen.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Diese Matrizen erfüllen die erforderliche Bedingung.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Alternativ können wir $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ und $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z$ wählen, sodass

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

wie zuvor berechnet. Die erforderliche Bedingung lässt sich diesmal wie folgt überprüfen.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Qubit-Reset-Kanal

Wir erhalten eine Kraus-Darstellung des Qubit-Reset-Kanals, indem wir $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ und $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert$ wählen.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

Diese Matrizen erfüllen die erforderliche Bedingung.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Vollständig depolarisierender Kanal

Eine Möglichkeit, eine Kraus-Darstellung für den vollständig depolarisierenden Kanal zu erhalten, besteht darin, die Kraus-Matrizen $A_0,\ldots,A_3$ wie folgt zu wählen.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

Für eine beliebige Qubit-Dichtematrix $\rho$ gilt dann

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

Eine alternative Kraus-Darstellung erhält man, indem man die Kraus-Matrizen wie folgt wählt.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

Um zu überprüfen, ob diese Kraus-Matrizen tatsächlich den vollständig depolarisierenden Kanal darstellen, beobachten wir zunächst, wie die Konjugation einer beliebigen $2\times 2$-Matrix mit einer Pauli-Matrix wirkt.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Damit können wir die Korrektheit unserer Kraus-Darstellung überprüfen.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

Diese Kraus-Darstellung veranschaulicht eine wichtige Idee: Der Zustand eines Qubits kann vollständig randomisiert werden, indem eine der vier Pauli-Matrizen (einschließlich der Identitätsmatrix) gleichmäßig zufällig auf ihn angewendet wird. Der vollständig depolarisierende Kanal ist daher ein weiteres Beispiel für einen Pauli-Kanal.

Es ist nicht möglich, eine Kraus-Darstellung für den vollständig depolarisierenden Kanal $\Omega$ mit drei oder weniger Kraus-Matrizen zu finden; für diesen Kanal werden mindestens vier benötigt.

Unitäre Kanäle

Wenn wir eine unitäre Matrix $U$ haben, die eine Operation auf einem System $\mathsf{X}$ darstellt, können wir die Wirkung dieser unitären Operation als Kanal ausdrücken:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

Dieser Ausdruck ist bereits eine gültige Kraus-Darstellung des Kanals $\Phi,$ bei der wir zufällig nur eine Kraus-Matrix $A_0 = U$ haben. In diesem Fall nimmt die erforderliche Bedingung

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

die viel einfachere Form $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ an, was wahr ist, weil $U$ unitär ist.

Choi-Darstellungen

Jetzt besprechen wir eine dritte Möglichkeit, Kanäle zu beschreiben: die Choi-Darstellung. Dabei wird jeder Kanal durch eine einzelne Matrix dargestellt, die als seine Choi-Matrix bezeichnet wird. Wenn das Eingabesystem $n$ klassische Zustände und das Ausgabesystem $m$ klassische Zustände hat, dann hat die Choi-Matrix des Kanals $nm$ Zeilen und $nm$ Spalten.

Choi-Matrizen bieten eine treue Darstellung von Kanälen, was bedeutet, dass zwei Kanäle genau dann gleich sind, wenn sie dieselbe Choi-Matrix haben. Ein Grund, warum dies wichtig ist: Es bietet uns eine Möglichkeit festzustellen, ob zwei verschiedene Beschreibungen demselben Kanal oder verschiedenen Kanälen entsprechen – wir berechnen einfach die Choi-Matrizen und vergleichen sie. Im Gegensatz dazu sind Stinespring- und Kraus-Darstellungen nicht auf diese Weise eindeutig, wie wir gesehen haben.

Choi-Matrizen sind auch in anderer Hinsicht nützlich, um verschiedene mathematische Eigenschaften von Kanälen aufzudecken.

Definition

Sei $\Phi$ ein Kanal vom System $\mathsf{X}$ zum System $\mathsf{Y},$ und nehmen wir an, dass die klassische Zustandsmenge des Eingabesystems $\mathsf{X}$ gleich $\Sigma$ ist. Die Choi-Darstellung von $\Phi,$ bezeichnet mit $J(\Phi),$ ist durch folgende Gleichung definiert.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

Wenn wir annehmen, dass $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ für eine positive ganze Zahl $n$ gilt, können wir $J(\Phi)$ alternativ als Blockmatrix ausdrücken:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

Als Blockmatrix hat die Choi-Matrix eines Kanals also für jedes Paar $(a,b)$ klassischer Zustände des Eingabesystems einen Block $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert),$ wobei die Blöcke auf natürliche Weise angeordnet sind.

Beachte insbesondere, dass die Menge $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ eine Basis für den Raum aller $n\times n$-Matrizen bildet. Da $\Phi$ linear ist, folgt, dass seine Wirkung aus seiner Choi-Matrix durch Bilden von Linearkombinationen der Blöcke wiederhergestellt werden kann.

Der Choi-Zustand eines Kanals

Eine andere Möglichkeit, die Choi-Matrix eines Kanals zu betrachten, besteht darin, dass sie eine Dichtematrix ist, wenn wir durch $n = \vert\Sigma\vert$ dividieren. Betrachten wir der Einfachheit halber den Fall $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ und stellen uns vor, wir haben zwei identische Kopien von $\mathsf{X},$ die sich gemeinsam im verschränkten Zustand befinden

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

Als Dichtematrix ist dieser Zustand wie folgt.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

Wenn wir $\Phi$ auf die rechte Kopie von $\mathsf{X}$ anwenden, erhalten wir die Choi-Matrix dividiert durch $n.$

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

Bis auf einen Normierungsfaktor $1/n$ ist die Choi-Matrix von $\Phi$ also die Dichtematrix, die wir erhalten, indem wir $\Phi$ auf eine Hälfte eines maximal verschränkten Paares von Eingabesystemen anwenden, wie die folgende Abbildung zeigt.

Beachte insbesondere, dass dies bedeutet, dass die Choi-Matrix eines Kanals immer positiv semidefinit sein muss.

Wir sehen auch, dass der Kanal $\Phi$ nur auf das rechte/obere System angewendet wird und daher den reduzierten Zustand des linken/unteren Systems nicht beeinflussen kann. In unserem Fall ist dieser Zustand der vollständig gemischte Zustand $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n,$ und daher gilt

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

Durch Kürzen des Nenners $n$ auf beiden Seiten ergibt sich $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

Zu demselben Schluss können wir auch gelangen, indem wir die Tatsache nutzen, dass Kanäle immer die Spur erhalten, und daher

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

Zusammenfassend muss die Choi-Darstellung $J(\Phi)$ für jeden Kanal $\Phi$ positiv semidefinit sein und

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

erfüllen.

Wie wir am Ende der Lektion sehen werden, sind diese beiden Bedingungen nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend, was bedeutet, dass jede lineare Abbildung $\Phi$ von Matrizen auf Matrizen, die diese Anforderungen erfüllt, tatsächlich ein Kanal sein muss.

Vollständig dephsierender Kanal

Die Choi-Darstellung des vollständig dephsierenden Kanals $\Delta$ ist

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Vollständig depolarisierender Kanal

Die Choi-Darstellung des vollständig depolarisierenden Kanals ist

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Qubit-Reset-Kanal

Die Choi-Darstellung des Qubit-Reset-Kanals $\Phi$ ist

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Der Identitätskanal

Die Choi-Darstellung des Qubit-Identitätskanals $\operatorname{Id}$ ist

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Beachte insbesondere, dass $J(\operatorname{Id})$ nicht die Identitätsmatrix ist. Die Choi-Darstellung beschreibt die Wirkung eines Kanals nicht direkt auf die übliche Weise, wie eine Matrix eine lineare Abbildung darstellt.