Grundlagen der Quantenkanäle

In mathematischen Begriffen sind Kanäle lineare Abbildungen von Dichtematrizen auf Dichtematrizen, die bestimmte Anforderungen erfüllen. Im gesamten Verlauf dieser Lektion verwenden wir griechische Großbuchstaben, darunter $\Phi$ und $\Psi,$ sowie in bestimmten Fällen einige andere Buchstaben, um auf Kanäle zu verweisen.

Jeder Kanal $\Phi$ hat ein Eingabesystem und ein Ausgabesystem, und wir werden typischerweise den Namen $\mathsf{X}$ für das Eingabesystem und $\mathsf{Y}$ für das Ausgabesystem verwenden. Es ist häufig der Fall, dass das Ausgabesystem eines Kanals dasselbe ist wie das Eingabesystem, und in diesem Fall können wir denselben Buchstaben $\mathsf{X}$ für beide verwenden.

Kanäle sind lineare Abbildungen

Kanäle werden durch lineare Abbildungen beschrieben, genau wie probabilistische Operationen in der Standardformulierung klassischer Information und unitäre Operationen in der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation.

Wenn ein Kanal $\Phi$ auf ein Eingabesystem $\mathsf{X}$ angewandt wird, dessen Zustand durch eine Dichtematrix $\rho$ beschrieben wird, dann wird das Ausgabesystem des Kanals durch die Dichtematrix $\Phi(\rho)$ beschrieben. Wenn das Ausgabesystem von $\Phi$ ebenfalls $\mathsf{X}$ ist, können wir einfach betrachten, dass der Kanal eine Zustandsänderung von $\mathsf{X}$ von $\rho$ zu $\Phi(\rho)$ darstellt. Wenn das Ausgabesystem von $\Phi$ ein anderes System, $\mathsf{Y},$ anstelle von $\mathsf{X}$ ist, sollte verstanden werden, dass $\mathsf{Y}$ ein neues System ist, das durch den Prozess der Anwendung des Kanals entsteht, und dass das Eingabesystem, $\mathsf{X},$ nach der Anwendung des Kanals nicht mehr verfügbar ist — als ob der Kanal selbst $\mathsf{X}$ in $\mathsf{Y}$ umgewandelt hätte und es im Zustand $\Phi(\rho)$ hinterlassen hätte.

Die Annahme, dass Kanäle durch lineare Abbildungen beschrieben werden, kann als Axiom betrachtet werden — also als ein grundlegendes Postulat der Theorie und nicht als etwas, das bewiesen wird. Wir können jedoch die Notwendigkeit sehen, dass Kanäle linear auf Konvexkombinationen von Dichtematrix-Eingaben wirken, damit sie mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und dem bereits Gelernten über Dichtematrizen konsistent sind.

Konkreter: Angenommen, wir haben einen Kanal $\Phi$ und wenden ihn auf ein System an, wenn es sich in einem der zwei Zustände befindet, die durch die Dichtematrizen $\rho$ und $\sigma$ dargestellt werden. Wenn wir den Kanal auf $\rho$ anwenden, erhalten wir die Dichtematrix $\Phi(\rho),$ und wenn wir ihn auf $\sigma$ anwenden, erhalten wir die Dichtematrix $\Phi(\sigma).$ Wenn wir also den Eingabezustand von $\mathsf{X}$ zufällig als $\rho$ mit Wahrscheinlichkeit $p$ und $\sigma$ mit Wahrscheinlichkeit $1-p$ wählen, erhalten wir den Ausgabezustand $\Phi(\rho)$ mit Wahrscheinlichkeit $p$ und $\Phi(\sigma)$ mit Wahrscheinlichkeit $1-p,$ was wir als gewichteten Durchschnitt von Dichtematrizen als $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma)$ darstellen.

Andererseits könnten wir den Eingabezustand des Kanals als durch den gewichteten Durchschnitt $p\rho + (1-p)\sigma$ dargestellt betrachten, in welchem Fall die Ausgabe $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma)$ ist. Es ist unabhängig davon, wie wir darüber nachdenken, derselbe Zustand, sodass gelten muss

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Immer wenn eine Abbildung diese Bedingung für jede Wahl von Dichtematrizen $\rho$ und $\sigma$ und Skalare $p\in [0,1]$ erfüllt, gibt es stets eine eindeutige Möglichkeit, diese Abbildung auf jede Matrixeingabe (also nicht nur auf Dichtematrixeingaben) zu erweitern, sodass sie linear ist.

Kanäle transformieren Dichtematrizen in Dichtematrizen

Natürlich müssen Kanäle zusätzlich zu linearen Abbildungen auch Dichtematrizen in Dichtematrizen transformieren. Wenn ein Kanal $\Phi$ auf ein Eingabesystem angewandt wird, während sich dieses System in einem durch eine Dichtematrix $\rho$ dargestellten Zustand befindet, erhalten wir ein System, dessen Zustand durch $\Phi(\rho)$ dargestellt wird, was eine gültige Dichtematrix sein muss, damit wir es als Zustand interpretieren können.

Es ist jedoch von entscheidender Bedeutung, dass wir eine allgemeinere Situation betrachten, in der ein Kanal $\Phi$ ein System $\mathsf{X}$ in ein System $\mathsf{Y}$ in Gegenwart eines zusätzlichen Systems $\mathsf{Z}$ transformiert, mit dem nichts passiert. Das heißt: Wenn wir mit dem Systempaar $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ in einem durch eine Dichtematrix beschriebenen Zustand beginnen und dann $\Phi$ nur auf $\mathsf{X}$ anwenden und es in $\mathsf{Y}$ transformieren, müssen wir eine Dichtematrix erhalten, die einen Zustand des Paares $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ beschreibt.

Wir können in mathematischen Begriffen beschreiben, wie ein Kanal $\Phi$ mit Eingabesystem $\mathsf{X}$ und Ausgabesystem $\mathsf{Y}$ einen Zustand des Paares $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ in einen Zustand von $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ transformiert, wenn nichts mit $\mathsf{Z}$ gemacht wird. Um die Dinge einfach zu halten, nehmen wir an, dass die klassische Zustandsmenge von $\mathsf{Z}$ gleich $\{0,\ldots,m-1\}$ ist. Das erlaubt uns, eine beliebige Dichtematrix $\rho,$ die einen Zustand von $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ darstellt, in folgender Form zu schreiben.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

Auf der rechten Seite dieser Gleichung haben wir eine Blockmatrix, die wir uns als eine Matrix von Matrizen vorstellen können, außer dass die inneren Klammern weggelassen wurden. Das hinterlässt uns eine gewöhnliche Matrix, die alternativ in Dirac-Notation wie im mittleren Ausdruck beschrieben werden kann. Jede Matrix $\rho_{a,b}$ hat Zeilen und Spalten entsprechend den klassischen Zuständen von $\mathsf{X},$ und diese Matrizen können durch eine einfache Formel bestimmt werden.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Beachte, dass diese im Allgemeinen keine Dichtematrizen sind — erst wenn sie zusammengeführt werden, um $\rho$ zu bilden, erhalten wir eine Dichtematrix.

Die folgende Gleichung beschreibt den Zustand von $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}),$ der erhalten wird, wenn $\Phi$ auf $\mathsf{X}$ angewandt wird.

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Beachte, dass wir, um diesen Ausdruck für eine gegebene Wahl von $\Phi$ und $\rho$ auszuwerten, verstehen müssen, wie $\Phi$ als lineare Abbildung auf Nicht-Dichtematrix-Eingaben wirkt, da jedes $\rho_{a,b}$ im Allgemeinen für sich allein keine Dichtematrix sein wird. Die Gleichung ist konsistent mit dem Ausdruck $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ in dem $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ den Identitätskanal auf dem System $\mathsf{Z}$ bezeichnet. Das setzt voraus, dass wir den Begriff eines Tensorprodukts auf lineare Abbildungen von Matrizen auf Matrizen erweitert haben, was unkompliziert ist — aber für den Zweck dieser Lektion nicht wesentlich ist und nicht weiter erklärt wird.

Um eine obige Aussage zu wiederholen: Damit eine lineare Abbildung $\Phi$ ein gültiger Kanal ist, muss es für jede Wahl von $\mathsf{Z}$ und jede Dichtematrix $\rho$ des Paares $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ der Fall sein, dass wir stets eine Dichtematrix erhalten, wenn $\Phi$ auf $\mathsf{X}$ angewandt wird. In mathematischen Begriffen sind die Eigenschaften, die eine Abbildung besitzen muss, um ein Kanal zu sein: Sie muss spurerhaltend sein — sodass die durch Anwendung des Kanals erhaltene Matrix die Spur eins hat — sowie vollständig positiv — sodass die resultierende Matrix positiv-semidefinit ist. Das sind beides wichtige Eigenschaften, die separat betrachtet und studiert werden können, aber es ist für den Zweck dieser Lektion nicht entscheidend, diese Eigenschaften isoliert zu betrachten.

Tatsächlich gibt es lineare Abbildungen, die immer eine Dichtematrix ausgeben, wenn eine Dichtematrix als Eingabe gegeben wird, aber keine Dichtematrizen auf Dichtematrizen für zusammengesetzte Systeme abbilden — sodass wir auf diese Weise einige lineare Abbildungen aus der Klasse der Kanäle ausschließen. (Die durch Matrixtransposition gegebene lineare Abbildung ist das einfachste Beispiel.)

Wir haben eine analoge Formel zu der obigen für den Fall, dass die zwei Systeme $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Z}$ vertauscht werden, sodass $\Phi$ auf das System auf der linken statt auf der rechten Seite angewandt wird.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Dabei wird angenommen, dass $\rho$ ein Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ statt $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ist. Diesmal funktioniert die Blockmatrixbeschreibung nicht, weil die Matrizen $\rho_{a,b}$ nicht in aufeinanderfolgende Zeilen und Spalten in $\rho$ fallen, aber es ist dieselbe zugrunde liegende mathematische Struktur.

Jede lineare Abbildung, die die Anforderung erfüllt, dass sie stets Dichtematrizen in Dichtematrizen transformiert, auch wenn sie nur auf einen Teil eines zusammengesetzten Systems angewandt wird, stellt einen gültigen Kanal dar. In einem abstrakten Sinne wird der Begriff eines Kanals also durch den Begriff einer Dichtematrix zusammen mit der Annahme bestimmt, dass Kanäle linear wirken. In dieser Hinsicht sind Kanäle analog zu unitären Operationen in der vereinfachten Formulierung der Quanteninformation, die genau die linearen Abbildungen sind, die stets Quantenzustandsvektoren in Quantenzustandsvektoren für ein gegebenes System transformieren; sowie zu probabilistischen Operationen (dargestellt durch stochastische Matrizen) in der Standardformulierung klassischer Information, die genau die linearen Abbildungen sind, die stets Wahrscheinlichkeitsvektoren in Wahrscheinlichkeitsvektoren transformieren.

Unitäre Operationen als Kanäle

Angenommen, $\mathsf{X}$ ist ein System und $U$ ist eine unitäre Matrix, die eine Operation auf $\mathsf{X}$ darstellt. Der Kanal $\Phi,$ der diese Operation auf Dichtematrizen beschreibt, ist für jede Dichtematrix $\rho,$ die einen Quantenzustand von $\mathsf{X}$ darstellt, wie folgt definiert.

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Diese Aktion, bei der wir links mit $U$ und rechts mit $U^{\dagger}$ multiplizieren, wird üblicherweise als Konjugation durch die Matrix $U$ bezeichnet.

Diese Beschreibung ist konsistent mit der Tatsache, dass die Dichtematrix, die einen gegebenen Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$ darstellt, gleich $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ ist. Wenn die unitäre Operation $U$ auf $\vert\psi\rangle$ angewandt wird, ist der Ausgabezustand insbesondere durch den Vektor $U\vert\psi\rangle$ dargestellt, und daher ist die Dichtematrix, die diesen Zustand beschreibt, gleich

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Sobald wir wissen, dass die Operation $U$ als Kanal die Wirkung $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ auf reine Zustände hat, können wir durch Linearität schließen, dass sie für jede Dichtematrix $\rho$ wie in Gleichung $(1)$ oben wirken muss.

Der besondere Kanal, den wir erhalten, wenn wir $U = \mathbb{I}$ wählen, ist der Identitätskanal $\;\operatorname{Id},$ dem wir auch einen Index geben können (wie $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ dem wir bereits begegnet sind), wenn wir explizit angeben wollen, auf welches System dieser Kanal wirkt. Seine Ausgabe ist stets gleich seiner Eingabe: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Das mag nicht wie ein interessanter Kanal erscheinen, ist aber tatsächlich ein sehr wichtiger — und es passt, dass das unser erstes Beispiel ist. Der Identitätskanal ist in manchen Kontexten der perfekte Kanal und stellt ein ideales Speichermedium oder eine perfekte, rauschfreie Übertragung von Information von einem Sender zu einem Empfänger dar.

Jeder durch eine unitäre Operation auf diese Weise definierte Kanal ist tatsächlich ein gültiger Kanal: Konjugation durch eine Matrix $U$ ergibt eine lineare Abbildung; und wenn $\rho$ eine Dichtematrix eines Systems $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ist und $U$ unitär ist, dann ist das Ergebnis, das wir als

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

ausdrücken können, ebenfalls eine Dichtematrix. Diese Matrix ist positiv-semidefinit, denn wenn $\rho = M^{\dagger} M,$ dann gilt

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

für $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ und sie muss durch die zyklische Eigenschaft der Spur die Einheitsspur haben.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Konvexkombinationen von Kanälen

Angenommen, wir haben zwei Kanäle, $\Phi_0$ und $\Phi_1,$ die dasselbe Eingabesystem und dasselbe Ausgabesystem teilen. Für jede reelle Zahl $p\in[0,1]$ könnten wir entscheiden, $\Phi_0$ mit Wahrscheinlichkeit $p$ und $\Phi_1$ mit Wahrscheinlichkeit $1-p$ anzuwenden, was uns einen neuen Kanal ergibt, der als $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1$ geschrieben werden kann. Explizit wird durch folgende einfache Gleichung angegeben, wie dieser Kanal auf eine gegebene Dichtematrix wirkt.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Allgemeiner gilt: Wenn wir Kanäle $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ und einen Wahrscheinlichkeitsvektor $(p_0,\ldots, p_{m-1})$ haben, können wir diese Kanäle zu einem neuen Kanal mitteln.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Das ist eine Konvexkombination von Kanälen, und durch diesen Prozess erhalten wir stets einen gültigen Kanal. Eine einfache mathematische Formulierung ist, dass für eine gegebene Wahl eines Eingabe- und Ausgabesystems die Menge aller Kanäle eine konvexe Menge ist.

Als Beispiel könnten wir entscheiden, eine aus einer Sammlung unitärer Operationen auf ein bestimmtes System anzuwenden. Wir erhalten, was als gemischter unitärer Kanal bekannt ist, ein Kanal, der in folgender Form ausgedrückt werden kann.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Gemischte unitäre Kanäle, bei denen alle unitären Operationen Pauli-Matrizen (oder Tensorprodukte von Pauli-Matrizen) sind, werden Pauli-Kanäle genannt und sind im Quantencomputing häufig anzutreffen.

Beispiele für Qubit-Kanäle

Nun betrachten wir einige spezifische Beispiele von Kanälen, die nicht unitär sind. Für alle diese Beispiele sind sowohl das Eingabe- als auch das Ausgabesystem einzelne Qubits, also handelt es sich um Beispiele für Qubit-Kanäle.

Der Qubit-Reset-Kanal

Dieser Kanal macht etwas sehr Einfaches: Er setzt ein Qubit in den Zustand $\vert 0\rangle$ zurück. Als lineare Abbildung kann dieser Kanal für jede Qubit-Dichtematrix $\rho$ wie folgt ausgedrückt werden.

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Obwohl die Spur jeder Dichtematrix $\rho$ gleich $1$ ist, macht das Schreiben des Kanals auf diese Weise deutlich, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt, die auf jede $2\times 2$-Matrix angewandt werden könnte, nicht nur auf eine Dichtematrix. Wie bereits festgestellt, müssen wir verstehen, wie Kanäle als lineare Abbildungen auf Nicht-Dichtematrix-Eingaben wirken, um zu beschreiben, was passiert, wenn sie nur auf einen Teil eines zusammengesetzten Systems angewandt werden.

Angenommen zum Beispiel, $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B}$ sind Qubits, und zusammen befindet sich das Paar $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ im Bell-Zustand $\vert \phi^+\rangle.$ Als Dichtematrix ist dieser Zustand gegeben durch

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

In Dirac-Notation können wir diesen Zustand alternativ wie folgt ausdrücken.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Indem wir den Qubit-Reset-Kanal auf $\mathsf{A}$ anwenden und nichts mit $\mathsf{B}$ tun, erhalten wir folgenden Zustand.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Es könnte verlockend sein zu sagen, dass das Zurücksetzen von $\mathsf{A}$ einen Effekt auf $\mathsf{B}$ hatte und es vollständig gemischt werden ließ — aber in gewissem Sinne ist es eigentlich das Gegenteil. Bevor $\mathsf{A}$ zurückgesetzt wurde, war der reduzierte Zustand von $\mathsf{B}$ der vollständig gemischte Zustand, und das ändert sich durch das Zurücksetzen von $\mathsf{A}$ nicht.

Der vollständig dephasierende Kanal

Hier ist ein Beispiel für einen Qubit-Kanal namens $\Delta,$ beschrieben durch seine Wirkung auf $2\times 2$-Matrizen:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

Mit anderen Worten: $\Delta$ nullt die außerdiagonalen Einträge einer $2\times 2$-Matrix aus. Dieses Beispiel kann auf beliebige Systeme verallgemeinert werden, nicht nur auf Qubits: Egal welche Dichtematrix als Eingabe gegeben wird, der Kanal nullt alle außerdiagonalen Einträge aus und lässt die Diagonale unverändert.

Dieser Kanal wird vollständig dephasierender Kanal genannt, und er kann als extreme Form des Prozesses betrachtet werden, der als Dekohärenz bekannt ist — der im Wesentlichen Quantensuperpositionen zerstört und sie in klassische probabilistische Zustände verwandelt.

Eine andere Art, über diesen Kanal nachzudenken: Er beschreibt eine Standardbasismessung an einem Qubit, bei der ein eingegebenes Qubit gemessen und dann verworfen wird und die Ausgabe eine Dichtematrix ist, die das Messergebnis beschreibt. Alternativ, aber äquivalent, können wir uns vorstellen, dass das Messergebnis verworfen wird und das Qubit in seinem Zustand nach der Messung verbleibt.

Betrachten wir erneut ein e-Bit und sehen, was passiert, wenn $\Delta$ auf nur eines der zwei Qubits angewandt wird. Konkret haben wir Qubits $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B},$ für die $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ im Zustand $\vert\phi^+\rangle$ ist, und diesmal wenden wir den Kanal auf das zweite Qubit an. Hier ist der Zustand, den wir erhalten.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Alternativ können wir diese Gleichung mithilfe von Blockmatrizen ausdrücken.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Wir können auch einen Qubit-Kanal betrachten, der ein Qubit nur leicht dephasiert und nicht vollständig, was eine weniger extreme Form der Dekohärenz ist als die, die durch den vollständig dephasierenden Kanal dargestellt wird. Angenommen, $\varepsilon \in (0,1)$ ist eine kleine, aber von null verschiedene reelle Zahl. Wir können einen Kanal definieren

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

der eine gegebene Qubit-Dichtematrix $\rho$ wie folgt transformiert:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Das heißt, mit Wahrscheinlichkeit $1-\varepsilon$ passiert nichts, und mit Wahrscheinlichkeit $\varepsilon$ dephasiert das Qubit. In Matrixtermen kann diese Wirkung wie folgt ausgedrückt werden, wobei die Diagonaleinträge unverändert bleiben und die außerdiagonalen Einträge mit $1-\varepsilon$ multipliziert werden.

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Der vollständig depolarisierende Kanal

Hier ist ein weiteres Beispiel für einen Qubit-Kanal namens $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Hier bezeichnet $\mathbb{I}$ die $2\times 2$-Einheitsmatrix. Mit anderen Worten: Für jede Dichtematrixeingabe $\rho$ gibt der Kanal $\Omega$ den vollständig gemischten Zustand aus. Verrauschter geht es nicht! Dieser Kanal wird vollständig depolarisierender Kanal genannt, und er kann wie der vollständig dephasierende Kanal auf beliebige Systeme statt auf Qubits verallgemeinert werden.

Wir können auch eine weniger extreme Variante dieses Kanals betrachten, bei der das Depolarisieren mit Wahrscheinlichkeit $\varepsilon$ auftritt, ähnlich wie wir es beim Dephasierungskanal gesehen haben.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$