Purifikationen

Definition von Purifikationen

Beginnen wir mit einer präzisen mathematischen Definition für Purifikationen.

Definition

Sei $\mathsf{X}$ ein System in einem Zustand, der durch eine Dichtematrix $\rho$ dargestellt wird, und sei $\vert\psi\rangle$ ein Quantenzustandsvektor eines Paares $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ der $\rho$ ergibt, wenn über $\mathsf{Y}$ die Spur gezogen wird:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

Der Zustandsvektor $\vert\psi\rangle$ wird dann als eine Purifikation von $\rho$ bezeichnet.

Der reine Zustand $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ als Dichtematrix statt als Quantenzustandsvektor ausgedrückt, wird ebenfalls häufig als Purifikation von $\rho$ bezeichnet, wenn die Gleichung in der Definition gilt – wir verwenden den Begriff jedoch im Allgemeinen für einen Quantenzustandsvektor.

Der Begriff Purifikation wird auch allgemeiner verwendet, wenn die Reihenfolge der Systeme umgekehrt ist, wenn die Systeme und Zustände andere Namen tragen (natürlich), und wenn mehr als zwei Systeme vorhanden sind. Wenn zum Beispiel $\vert \psi \rangle$ ein Quantenzustandsvektor ist, der einen reinen Zustand eines zusammengesetzten Systems $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$ darstellt, und die Gleichung

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

für eine Dichtematrix $\rho$ gilt, die einen Zustand des Systems $(\mathsf{A},\mathsf{C})$ darstellt, dann wird $\vert\psi\rangle$ weiterhin als Purifikation von $\rho$ bezeichnet.

Im Rahmen dieser Lektion konzentrieren wir uns jedoch auf die spezifische Form, die in der Definition beschrieben wird. Eigenschaften und Fakten über Purifikationen gemäß dieser Definition lassen sich typischerweise auf mehr als zwei Systeme verallgemeinern, indem man die Systeme neu anordnet und in zwei zusammengesetzte Systeme aufteilt, von denen eines die Rolle von $\mathsf{X}$ und das andere die Rolle von $\mathsf{Y}$ übernimmt.

Existenz von Purifikationen

Seien $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ zwei beliebige Systeme und $\rho$ ein gegebener Zustand von $\mathsf{X}.$ Wir werden beweisen, dass ein Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$ von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ existiert, der $\rho$ purifiziert — was eine andere Weise ist zu sagen, dass $\vert\psi\rangle$ eine Purifikation von $\rho$ ist — vorausgesetzt, das System $\mathsf{Y}$ ist groß genug. Insbesondere gilt: Wenn $\mathsf{Y}$ mindestens so viele klassische Zustände hat wie $\mathsf{X},$ existiert für jeden Zustand $\rho$ notwendigerweise eine Purifikation dieser Form. Für manche Zustände $\rho$ werden weniger klassische Zustände von $\mathsf{Y}$ benötigt; im Allgemeinen sind $\operatorname{rank}(\rho)$ klassische Zustände von $\mathsf{Y}$ notwendig und hinreichend für die Existenz eines Quantenzustandsvektors von $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ der $\rho$ purifiziert.

Betrachte zunächst eine beliebige Darstellung von $\rho$ als Konvexkombination von $n$ reinen Zuständen, für eine beliebige positive ganze Zahl $n.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

In diesem Ausdruck ist $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ ein Wahrscheinlichkeitsvektor und $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ sind Quantenzustandsvektoren von $\mathsf{X}.$

Eine Möglichkeit, einen solchen Ausdruck zu erhalten, ist der Spektralsatz, bei dem $n$ die Anzahl der klassischen Zustände von $\mathsf{X}$ ist, $p_0,\ldots,p_{n-1}$ die Eigenwerte von $\rho$ sind und $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ orthonormale Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten sind.

Es ist tatsächlich nicht nötig, die Terme, die den Null-Eigenwerten von $\rho$ entsprechen, in die Summe aufzunehmen, was es uns erlaubt, alternativ $n = \operatorname{rank}(\rho)$ zu wählen und $p_0,\ldots,p_{n-1}$ als die von null verschiedenen Eigenwerte von $\rho$ zu nehmen. Dies ist der minimale Wert von $n,$ für den ein Ausdruck der obigen Form existiert.

Um es klar zu sagen: Es ist nicht notwendig, dass die gewählte Darstellung von $\rho$ als Konvexkombination reiner Zustände aus dem Spektralsatz stammt — dies ist nur eine Möglichkeit, einen solchen Ausdruck zu erhalten. Insbesondere kann $n$ eine beliebige positive ganze Zahl sein, die Einheitsvektoren $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ müssen nicht orthogonal sein, und die Wahrscheinlichkeiten $p_0,\ldots,p_{n-1}$ müssen keine Eigenwerte von $\rho$ sein.

Wir können nun eine Purifikation von $\rho$ wie folgt identifizieren.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

Dabei nehmen wir an, dass die klassischen Zustände von $\mathsf{Y}$ die Werte $0,\ldots,n-1$ umfassen. Falls nicht, kann eine beliebige Auswahl von $n$ verschiedenen klassischen Zuständen von $\mathsf{Y}$ für $0,\ldots,n-1$ eingesetzt werden. Zu überprüfen, dass es sich tatsächlich um eine Purifikation von $\rho$ handelt, ist eine einfache Angelegenheit der Berechnung der partiellen Spur, was auf die folgenden zwei äquivalenten Weisen geschehen kann.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

Allgemeiner gilt: Für jede orthonormale Menge von Vektoren $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\}$ ist der Quantenzustandsvektor

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

eine Purifikation von $\rho.$

Beispiel

Seien $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ beide Qubits und

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

eine Dichtematrix, die einen Zustand von $\mathsf{X}$ darstellt.

Mit dem Spektralsatz können wir $\rho$ schreiben als

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

wobei $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ Der Quantenzustandsvektor

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

der einen reinen Zustand des Paares $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ beschreibt, ist daher eine Purifikation von $\rho.$

Alternativ können wir schreiben

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

Dies ist eine Konvexkombination reiner Zustände, aber keine Spektralzerlegung, da $\vert 0\rangle$ und $\vert +\rangle$ nicht orthogonal sind und $1/2$ kein Eigenwert von $\rho$ ist. Dennoch ist der Quantenzustandsvektor

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

eine Purifikation von $\rho.$

Schmidt-Zerlegungen

Als nächstes besprechen wir Schmidt-Zerlegungen, d. h. Ausdrücke von Quantenzustandsvektoren von Paaren von Systemen, die eine bestimmte Form annehmen. Schmidt-Zerlegungen stehen in engem Zusammenhang mit Purifikationen und sind auch für sich genommen sehr nützlich. Wenn man über einen gegebenen Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$ eines Paares von Systemen nachdenkt, besteht der erste Schritt häufig darin, eine Schmidt-Zerlegung dieses Zustands zu identifizieren oder zu betrachten.

Definition

Sei $\vert \psi\rangle$ ein gegebener Quantenzustandsvektor eines Paares von Systemen $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Eine Schmidt-Zerlegung von $\vert\psi\rangle$ ist ein Ausdruck der Form

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

wobei $p_0,\ldots,p_{r-1}$ positive reelle Zahlen mit Summe $1$ sind und beide Mengen $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ und $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ orthonormal sind.

Die Werte

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

in einer Schmidt-Zerlegung von $\vert\psi\rangle$ heißen Schmidt-Koeffizienten, die eindeutig bestimmt sind (bis auf ihre Reihenfolge) — es sind die einzigen positiven reellen Zahlen, die in einem solchen Ausdruck von $\vert\psi\rangle$ auftreten können. Die Mengen

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{und}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

hingegen sind nicht eindeutig bestimmt, und die Freiheit bei der Wahl dieser Vektormengen wird in der folgenden Erklärung verdeutlicht.

Wir werden nun zeigen, dass ein gegebener Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$ tatsächlich eine Schmidt-Zerlegung besitzt, und dabei lernen, wie man eine solche findet.

Betrachte zunächst eine beliebige (nicht notwendigerweise orthogonale) Basis $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ des Vektorraums, der dem System $\mathsf{X}$ entspricht. Da dies eine Basis ist, gibt es immer eine eindeutig bestimmte Auswahl von Vektoren $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle,$ für die die folgende Gleichung gilt.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

Angenommen zum Beispiel, $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ist die Standardbasis von $\mathsf{X}.$ Unter der Annahme, dass die klassische Zustandsmenge von $\mathsf{X}$ gleich $\{0,\ldots,n-1\}$ ist, bedeutet dies, dass $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ für jedes $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ und wir erhalten

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

wenn

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

für jedes $a\in\{0,\ldots,n-1\}.$ Solche Ausdrücke betrachten wir häufig, wenn wir über eine Standardbasismessung von $\mathsf{X}$ nachdenken.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Formel

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

für die Vektoren $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ in diesem Beispiel nur funktioniert, weil $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ eine orthonormale Basis ist. Im Allgemeinen gilt: Wenn $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ eine nicht notwendigerweise orthonormale Basis ist, sind die Vektoren $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ durch die Gleichung $(1)$ zwar eindeutig bestimmt, aber es wird eine andere Formel benötigt. Eine Möglichkeit, sie zu finden, besteht darin, zunächst Vektoren $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ zu identifizieren, so dass die Gleichung

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

für alle $a,b\in\{0,\ldots,n-1\}$ erfüllt ist, woraufhin wir haben

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

Für eine gegebene Basis $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ des Vektorraums von $\mathsf{X}$ erfüllen die eindeutig bestimmten Vektoren $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle,$ für die die Gleichung $(1)$ gilt, nicht notwendigerweise besondere Eigenschaften, selbst wenn $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ eine orthonormale Basis ist. Wenn wir jedoch $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ als orthonormale Basis aus Eigenvektoren des reduzierten Zustands

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr)$$

wählen, passiert etwas Interessantes. Genauer gesagt: Für die eindeutig bestimmte Kollektion $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\},$ für die die Gleichung $(1)$ gilt, stellt sich heraus, dass diese Kollektion orthogonal sein muss.

Im Einzelnen betrachte eine Spektralzerlegung von $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

Hier bezeichnen wir die Eigenwerte von $\rho$ mit $p_0,\ldots,p_{n-1}$ in Anerkennung der Tatsache, dass $\rho$ eine Dichtematrix ist — der Vektor der Eigenwerte $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ bildet also einen Wahrscheinlichkeitsvektor — während $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ eine orthonormale Basis von Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten ist. Um zu sehen, dass die eindeutige Kollektion $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\},$ für die die Gleichung $(1)$ gilt, notwendigerweise orthogonal ist, können wir mit der Berechnung der partiellen Spur beginnen.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

Dieser Ausdruck muss mit der Spektralzerlegung von $\rho$ übereinstimmen. Da $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ eine Basis ist, schließen wir, dass die Menge von Matrizen

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

linear unabhängig ist, und somit folgt

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

womit gezeigt ist, dass $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ orthogonal ist.

Wir haben fast eine Schmidt-Zerlegung von $\vert\psi\rangle$ erhalten. Es bleibt noch, die Terme in $(1),$ für die $p_a = 0$ gilt, zu verwerfen und dann $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ für einen Einheitsvektor $\vert y_a\rangle$ für jeden der verbleibenden Terme zu schreiben.

Ein bequemer Weg, dies zu tun, beginnt mit der Beobachtung, dass wir die Eigenwert/Eigenvektor-Paare in einer Spektralzerlegung des reduzierten Zustands $\rho$ beliebig nummerieren können — wir dürfen also annehmen, dass die Eigenwerte in absteigender Reihenfolge sortiert sind:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

Mit $r = \operatorname{rank}(\rho)$ finden wir $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ und $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0.$ Also haben wir

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

und wir können den Quantenzustandsvektor $\vert \psi \rangle$ schreiben als

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

Da

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

für $a=0,\ldots,r-1,$ können wir Einheitsvektoren $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ definieren als

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

so dass $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ für jedes $a\in\{0,\ldots,r-1\}.$ Da die Vektoren $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ orthogonal und von null verschieden sind, folgt, dass $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ eine orthonormale Menge ist, und wir haben somit eine Schmidt-Zerlegung von $\vert\psi\rangle$ erhalten.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

Bezüglich der Wahl der Vektoren $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ und $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ können wir $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ als eine beliebige orthonormale Menge von Eigenvektoren zu den von null verschiedenen Eigenwerten des reduzierten Zustands $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ wählen (wie wir es oben getan haben), wobei die Vektoren $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ dann eindeutig bestimmt sind.

Die Situation ist symmetrisch zwischen den beiden Systemen, daher können wir alternativ $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ als eine beliebige orthonormale Menge von Eigenvektoren zu den von null verschiedenen Eigenwerten des reduzierten Zustands $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ wählen, wobei dann die Vektoren $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ eindeutig bestimmt sind.

Beachte jedoch: Sobald eine der Mengen als Eigenvektormenge des entsprechenden reduzierten Zustands gewählt wurde, ist die andere bestimmt — sie können also nicht unabhängig voneinander gewählt werden.

Obwohl es in dieser Reihe nicht wieder vorkommen wird, ist es bemerkenswert, dass die von null verschiedenen Eigenwerte $p_0,\ldots,p_{r-1}$ des reduzierten Zustands $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ stets mit den von null verschiedenen Eigenwerten des reduzierten Zustands $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ für jeden reinen Zustand $\vert\psi\rangle$ eines Paares von Systemen $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ übereinstimmen müssen.

Anschaulich gesagt enthalten die reduzierten Zustände von $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ genau gleich viel Zufälligkeit, wenn sich das Paar $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ in einem reinen Zustand befindet. Diese Tatsache wird durch die Schmidt-Zerlegung offenbart: In beiden Fällen müssen die Eigenwerte der reduzierten Zustände mit den Quadraten der Schmidt-Koeffizienten des reinen Zustands übereinstimmen.

Unitäre Äquivalenz von Purifikationen

Wir können Schmidt-Zerlegungen nutzen, um eine grundlegend wichtige Tatsache über Purifikationen zu zeigen, die als unitäre Äquivalenz von Purifikationen bekannt ist.

Theorem

Unitäre Äquivalenz von Purifikationen: Seien $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Systeme, und seien $\vert\psi\rangle$ und $\vert\phi\rangle$ Quantenzustandsvektoren von $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ die beide denselben Zustand von $\mathsf{X}$ purifizieren. In Formeln:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

für eine Dichtematrix $\rho,$ die einen Zustand von $\mathsf{X}$ darstellt. Dann muss eine unitäre Operation $U$ auf $\mathsf{Y}$ allein existieren, die die erste Purifikation in die zweite überführt:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

Wir werden einige Implikationen dieses Theorems im weiteren Verlauf der Lektion besprechen, aber zunächst wollen wir sehen, wie es aus unserer vorherigen Diskussion über Schmidt-Zerlegungen folgt.

Unsere Annahme ist, dass $\vert\psi\rangle$ und $\vert\phi\rangle$ Quantenzustandsvektoren eines Paares von Systemen $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ sind, die die Gleichung

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

für eine Dichtematrix $\rho,$ die einen Zustand von $\mathsf{X}$ darstellt, erfüllen.

Betrachte eine Spektralzerlegung von $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

Hier ist $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $\rho.$ Indem wir der zuvor beschriebenen Vorgehensweise folgen, erhalten wir Schmidt-Zerlegungen sowohl für $\vert\psi\rangle$ als auch für $\vert\phi\rangle$ in der folgenden Form.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

In diesen Ausdrücken ist $r$ der Rang von $\rho$ und $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ und $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ sind orthonormale Mengen von Vektoren im Raum, der $\mathsf{Y}$ entspricht.

Für zwei beliebige orthonormale Mengen im selben Raum mit gleicher Anzahl von Elementen gibt es stets eine unitäre Matrix, die die erste Menge in die zweite überführt, also können wir eine unitäre Matrix $U$ so wählen, dass $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ für $a = 0,\ldots,r-1.$ Um eine solche Matrix $U$ zu finden, können wir zunächst das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren verwenden, um unsere orthonormalen Mengen zu orthonormalen Basen $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ und $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\}$ zu erweitern, wobei $m$ die Dimension des Raums entsprechend $\mathsf{Y}$ ist, und dann

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert$$

zu nehmen.

Wir finden nun, dass

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

womit der Beweis abgeschlossen ist.

Hier sind einige von vielen interessanten Beispielen und Implikationen, die mit der unitären Äquivalenz von Purifikationen zusammenhängen. Ein weiteres entscheidend wichtiges Beispiel werden wir später in der Lektion im Kontext der Fidelität sehen, bekannt als Uhlmanns Theorem.

Superdense Coding

Im Superdense-Coding-Protokoll teilen sich Alice und Bob ein E-Bit, das bedeutet: Alice hält ein Qubit $\mathsf{A},$ Bob hält ein Qubit $\mathsf{B},$ und zusammen befindet sich das Paar $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ im Bell-Zustand $\vert\phi^{+}\rangle.$ Das Protokoll beschreibt, wie Alice diesen gemeinsamen Zustand in einen der vier Bell-Zustände, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle$ und $\vert\psi^-\rangle,$ überführen kann, indem sie eine unitäre Operation auf ihr Qubit $\mathsf{A}$ anwendet. Sobald sie das getan hat, schickt sie $\mathsf{A}$ an Bob, der dann eine Messung auf dem Paar $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ durchführt, um herauszufinden, in welchem Bell-Zustand er sich befindet.

Für alle vier Bell-Zustände ist der reduzierte Zustand von Bobs Qubit $\mathsf{B}$ der vollständig gemischte Zustand.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Durch die unitäre Äquivalenz von Purifikationen schließen wir unmittelbar, dass für jeden Bell-Zustand eine unitäre Operation auf Alices Qubit $\mathsf{A}$ allein existieren muss, die $\vert\phi^+\rangle$ in den gewählten Bell-Zustand überführt. Obwohl dies die genauen Details des Protokolls nicht offenbart, impliziert die unitäre Äquivalenz von Purifikationen unmittelbar, dass Superdense Coding möglich ist.

Wir können auch schlussfolgern, dass Verallgemeinerungen des Superdense Codings auf größere Systeme stets möglich sind, vorausgesetzt, wir ersetzen die Bell-Zustände durch eine beliebige orthonormale Basis von Purifikationen des vollständig gemischten Zustands.

Kryptografische Implikationen

Die unitäre Äquivalenz von Purifikationen hat Auswirkungen auf die Implementierung kryptografischer Primitive mittels Quanteninformation. Zum Beispiel zeigt die unitäre Äquivalenz von Purifikationen, dass es unmöglich ist, eine ideale Form des Bit-Commitments mit Quanteninformation zu implementieren.

Das Bit-Commitment-Primitiv umfasst zwei Teilnehmer, Alice und Bob (die einander nicht vertrauen), und verläuft in zwei Phasen.

• Die erste Phase ist die Commit-Phase, in der sich Alice auf einen Binärwert $b\in\{0,1\}$ festlegt. Dieses Commitment muss bindend sein, d. h. Alice kann ihre Meinung nicht ändern, sowie verbergend, d. h. Bob kann nicht erkennen, auf welchen Wert sich Alice festgelegt hat.
• Die zweite Phase ist die Enthüllungsphase, in der der von Alice festgelegte Bit Bob bekannt wird und Bob überzeugt sein soll, dass es tatsächlich der zugesagte Wert war, der enthüllt wurde.

In anschaulichen, operativen Begriffen sollte die erste Phase des Bit-Commitments so funktionieren, als ob Alice einen Binärwert auf ein Stück Papier schreibt, das Papier in einem Safe einschließt und den Safe an Bob übergibt, während sie den Schlüssel behält. Alice hat sich auf den auf dem Papier geschriebenen Binärwert festgelegt, weil der Safe in Bobs Besitz ist (bindend), aber da Bob den Safe nicht öffnen kann, kann er nicht erkennen, auf welchen Wert sich Alice festgelegt hat (verbergend). Die zweite Phase sollte so funktionieren, als ob Alice Bob den Schlüssel zum Safe übergibt, so dass er ihn öffnen kann, um den Wert zu enthüllen, auf den sich Alice festgelegt hat.

Wie sich herausstellt, ist es unmöglich, ein perfektes Bit-Commitment-Protokoll allein durch Quanteninformation zu implementieren, da dies der unitären Äquivalenz von Purifikationen widerspricht. Hier ist eine übergeordnete Zusammenfassung eines Arguments, das dies zeigt.

Zunächst können wir annehmen, dass Alice und Bob nur unitäre Operationen durchführen oder neue initialisierte Systeme einführen, während das Protokoll ausgeführt wird. Die Tatsache, dass jeder Kanal eine Stinespring-Darstellung hat, erlaubt uns, diese Annahme zu machen.

Am Ende der Commit-Phase des Protokolls hält Bob ein zusammengesetztes System, das sich in einem von zwei Quantenzuständen befinden muss: $\rho_0,$ wenn Alice sich auf den Wert $0$ festgelegt hat, und $\rho_1,$ wenn Alice sich auf den Wert $1$ festgelegt hat. Damit das Protokoll perfekt verbergend ist, sollte Bob nicht in der Lage sein, zwischen diesen beiden Zuständen zu unterscheiden — es muss also $\rho_0 = \rho_1$ gelten. (Andernfalls gäbe es eine Messung, die diese Zustände probabilistisch unterscheiden kann.)

Da Alice und Bob jedoch nur unitäre Operationen verwendet haben, muss der Zustand aller am Protokoll beteiligten Systeme zusammen nach der Commit-Phase in einem reinen Zustand sein. Sei insbesondere $\vert\psi_0\rangle$ der reine Zustand aller am Protokoll beteiligten Systeme, wenn Alice sich auf $0$ festlegt, und $\vert\psi_1\rangle$ der reine Zustand aller am Protokoll beteiligten Systeme, wenn Alice sich auf $1$ festlegt. Schreiben wir $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B}$ für Alices und Bobs (möglicherweise zusammengesetzte) Systeme, dann gilt

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

Angesichts der Voraussetzung $\rho_0 = \rho_1$ für ein perfekt verbergendes Protokoll stellen wir fest, dass $\vert\psi_0\rangle$ und $\vert\psi_1\rangle$ Purifikationen desselben Zustands sind — und somit muss nach der unitären Äquivalenz von Purifikationen eine unitäre Operation $U$ auf $\mathsf{A}$ allein existieren, so dass

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

Alice kann also ihr Commitment von $0$ auf $1$ ändern, indem sie $U$ auf $\mathsf{A}$ anwendet, oder von $1$ auf $0$ durch Anwenden von $U^{\dagger},$ und so scheitert das betrachtete hypothetische Protokoll vollständig, bindend zu sein.

Hughston-Jozsa-Wootters-Theorem

Die letzte Implikation der unitären Äquivalenz von Purifikationen, die wir in diesem Teil der Lektion besprechen, ist das folgende Theorem, bekannt als das Hughston-Jozsa-Wootters-Theorem. (Dies ist tatsächlich eine leicht vereinfachte Version des unter diesem Namen bekannten Theorems.)

Theorem

Hughston-Jozsa-Wootters: Seien $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Systeme und sei $\vert\phi\rangle$ ein Quantenzustandsvektor des Paares $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Sei außerdem $N$ eine beliebige positive ganze Zahl, $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ ein Wahrscheinlichkeitsvektor und $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ Quantenzustandsvektoren, die Zustände von $\mathsf{X}$ darstellen, so dass

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Es existiert eine (allgemeine) Messung $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ auf $\mathsf{Y},$ so dass die folgenden zwei Aussagen wahr sind, wenn diese Messung auf $\mathsf{Y}$ durchgeführt wird, wenn $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ im Zustand $\vert\phi\rangle$ ist:

1. Jedes Messergebnis $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ tritt mit Wahrscheinlichkeit $p_a$ auf.
2. Bedingt auf das Messergebnis $a$ wird der Zustand von $\mathsf{X}$ zu $\vert\psi_a\rangle.$

Anschaulich gesagt besagt dieses Theorem, dass — solange wir einen reinen Zustand zweier Systeme haben — für jede Möglichkeit, über den reduzierten Zustand des ersten Systems als Konvexkombination reiner Zustände nachzudenken, eine Messung des zweiten Systems existiert, die diese Denkweise zur Realität macht. Beachte, dass die Zahl $N$ nicht notwendigerweise durch die Anzahl der klassischen Zustände von $\mathsf{X}$ oder $\mathsf{Y}$ begrenzt ist. Zum Beispiel könnte $N = 1.000.000$ sein, während $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Qubits sind.

Wir werden dieses Theorem mithilfe der unitären Äquivalenz von Purifikationen beweisen, beginnend mit der Einführung eines neuen Systems $\mathsf{Z}$ mit der klassischen Zustandsmenge $\{0,\ldots,N-1\}.$ Betrachte die folgenden zwei Quantenzustandsvektoren des Tripels $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z}).$

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

Der erste Vektor $\vert\gamma_0\rangle$ ist einfach der gegebene Quantenzustandsvektor $\vert\phi\rangle$ tensoriert mit $\vert 0\rangle$ für das neue System $\mathsf{Z}.$ Für den zweiten Vektor $\vert\gamma_1\rangle$ haben wir im Wesentlichen einen Quantenzustandsvektor, der das Theorem trivial machen würde — zumindest wenn $\mathsf{Y}$ durch $\mathsf{Z}$ ersetzt würde — da eine Standardbasismessung auf $\mathsf{Z}$ offensichtlich jedes Ergebnis $a$ mit Wahrscheinlichkeit $p_a$ liefert und bedingt auf dieses Ergebnis der Zustand von $\mathsf{X}$ zu $\vert\psi_a\rangle$ wird.

Indem wir das Paar $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ als ein einziges zusammengesetztes System betrachten, über das gespurt werden kann, um $\mathsf{X}$ zu erhalten, stellen wir fest, dass wir zwei verschiedene Purifikationen des Zustands

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert$$

identifiziert haben.

Konkret haben wir für die erste:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

und für die zweite:

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

Es muss daher eine unitäre Operation $U$ auf $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ existieren, die

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

erfüllt, nach der unitären Äquivalenz von Purifikationen.

Mithilfe dieser unitären Operation $U$ können wir eine Messung implementieren, die die Anforderungen des Theorems erfüllt, wie das folgende Diagramm veranschaulicht. Mit anderen Worten: Wir führen das neue System $\mathsf{Z}$ im Zustand $\vert 0\rangle$ ein, wenden $U$ auf $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ an, was den Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ von $\vert\gamma_0\rangle$ in $\vert\gamma_1\rangle$ überführt, und messen dann $\mathsf{Z}$ mit einer Standardbasismessung, was — wie wir bereits gesehen haben — das gewünschte Verhalten ergibt.

Das gepunktete Rechteck in der Abbildung stellt eine Implementierung dieser Messung dar, die als Kollektion positiv semidefiniter Matrizen $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ wie folgt beschrieben werden kann.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$