Fidelität

In diesem Teil der Lektion besprechen wir die Fidelität zwischen Quantenzuständen, ein Maß für ihre Ähnlichkeit — oder ihr gegenseitiges „Überlappen".

Für zwei Quantenzustandsvektoren ist die Fidelität zwischen den reinen Zuständen, die diesen Quantenzustandsvektoren zugeordnet sind, gleich dem Absolutbetrag des inneren Produkts der Quantenzustandsvektoren. Das bietet eine grundlegende Möglichkeit, ihre Ähnlichkeit zu messen: Das Ergebnis ist ein Wert zwischen $0$ und $1,$ wobei größere Werte größere Ähnlichkeit anzeigen. Insbesondere ist der Wert für orthogonale Zustände null (per Definition), während er $1$ für Zustände ist, die bis auf eine globale Phase äquivalent sind.

Intuitiv gesprochen kann die Fidelität als Erweiterung dieses grundlegenden Ähnlichkeitsmaßes von Quantenzustandsvektoren auf Dichtematrizen betrachtet werden.

Definition der Fidelität

Es empfiehlt sich, mit einer Definition der Fidelität zu beginnen. Auf den ersten Blick mag die folgende Definition ungewöhnlich oder rätselhaft erscheinen und vielleicht nicht leicht handhabbar. Die von ihr definierte Funktion erweist sich jedoch als mit vielen interessanten Eigenschaften und mehreren alternativen Formulierungen ausgestattet, was sie viel angenehmer handhabbar macht, als es zunächst erscheinen mag.

Definition

Sei $\rho$ und $\sigma$ Dichtematrizen, die Quantenzustände desselben Systems darstellen. Die Fidelität zwischen $\rho$ und $\sigma$ ist definiert als

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Anmerkung

Obwohl dies eine gängige Definition ist, ist es auch üblich, die Fidelität als das Quadrat der hier definierten Größe zu definieren, die dann als Wurzel-Fidelität bezeichnet wird. Keine Definition ist richtig oder falsch — es ist im Wesentlichen eine Frage der Präferenz. Man muss jedoch stets darauf achten, zu verstehen oder klarzustellen, welche Definition verwendet wird.

Um die Formel in der Definition zu verstehen, beachte zunächst, dass $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ eine positiv-semidefinite Matrix ist:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

für $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Wie alle positiv-semidefiniten Matrizen hat diese positiv-semidefinite Matrix eine eindeutige positiv-semidefinite Quadratwurzel, deren Spur die Fidelität ist.

Für jede quadratische Matrix $M$ sind die Eigenwerte der beiden positiv-semidefiniten Matrizen $M^{\dagger} M$ und $M M^{\dagger}$ stets dieselben, und daher gilt dasselbe für die Quadratwurzeln dieser Matrizen. Indem wir $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ wählen und die Tatsache nutzen, dass die Spur einer quadratischen Matrix die Summe ihrer Eigenwerte ist, ergibt sich

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Obwohl es aus der Definition nicht unmittelbar ersichtlich ist, ist die Fidelität also symmetrisch in ihren zwei Argumenten.

Fidelität mittels der Spurnorm

Eine äquivalente Weise, die Fidelität auszudrücken, ist durch diese Formel:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Hier sehen wir die Spurnorm, der wir in der vorherigen Lektion im Kontext der Zustandsdiskriminierung begegnet sind. Die Spurnorm einer (nicht notwendigerweise quadratischen) Matrix $M$ kann definiert werden als

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

und indem wir diese Definition auf die Matrix $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ anwenden, erhalten wir die Formel aus der Definition.

Eine alternative Weise, die Spurnorm einer (quadratischen) Matrix $M$ auszudrücken, ist durch diese Formel.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitär}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Hierbei ist das Maximum über alle unitären Matrizen $U$ mit derselben Anzahl von Zeilen und Spalten wie $M$ zu nehmen. Die Anwendung dieser Formel auf die vorliegende Situation ergibt einen weiteren Ausdruck der Fidelität.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitär}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelität für reine Zustände

Ein letzter Punkt zur Definition der Fidelität ist, dass jeder reine Zustand (als Dichtematrix) gleich seiner eigenen Quadratwurzel ist, was erlaubt, die Formel für die Fidelität erheblich zu vereinfachen, wenn einer oder beide Zustände rein sind. Wenn einer der beiden Zustände rein ist, gilt insbesondere folgende Formel.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Wenn beide Zustände rein sind, vereinfacht sich die Formel zum Absolutbetrag des inneren Produkts der entsprechenden Quantenzustandsvektoren, wie am Anfang des Abschnitts erwähnt.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Grundlegende Eigenschaften der Fidelität

Die Fidelität hat viele bemerkenswerte Eigenschaften und mehrere alternative Formulierungen. Hier sind einige grundlegende Eigenschaften ohne Beweise aufgeführt.

1. Für beliebige zwei Dichtematrizen $\rho$ und $\sigma$ gleicher Größe liegt die Fidelität $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ zwischen null und eins: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Es gilt $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ genau dann, wenn $\rho$ und $\sigma$ orthogonale Bilder haben (sodass sie fehlerfrei diskriminiert werden können), und $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ genau dann, wenn $\rho = \sigma.$
2. Die Fidelität ist multiplikativ, d.h. die Fidelität zwischen zwei Produktzuständen ist gleich dem Produkt der einzelnen Fidelitäten: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. Die Fidelität zwischen Zuständen ist unter der Wirkung eines beliebigen Kanals nicht-abnehmend. Das heißt: Wenn $\rho$ und $\sigma$ Dichtematrizen sind und $\Phi$ ein Kanal ist, der diese zwei Zustände als Eingabe annehmen kann, dann gilt notwendigerweise $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Die Fuchs-van-de-Graaf-Ungleichungen stellen eine enge (wenn auch nicht genaue) Beziehung zwischen Fidelität und Spurabstand her: Für beliebige zwei Zustände $\rho$ und $\sigma$ gilt $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

Die letzte Eigenschaft lässt sich in Form einer Abbildung darstellen:

Konkret muss für jede Wahl von Zuständen $\rho$ und $\sigma$ desselben Systems die horizontale Linie, die die $y$-Achse bei $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ schneidet, und die vertikale Linie, die die $x$-Achse bei $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ schneidet, sich innerhalb des grauen Bereichs schneiden, der unten durch die Linie $y = 1-x$ und oben durch den Einheitskreis begrenzt wird. Der interessanteste Bereich dieser Abbildung aus praktischer Sicht ist die obere linke Ecke des grauen Bereichs: Wenn die Fidelität zwischen zwei Zuständen nahe bei eins liegt, ist ihr Spurabstand nahe bei null, und umgekehrt.

Lemma über sanfte Messungen

Als Nächstes betrachten wir eine einfache, aber wichtige Aussage, das Lemma über sanfte Messungen, das Fidelität mit nicht-destruktiven Messungen verbindet. Es ist ein sehr nützliches Lemma, das von Zeit zu Zeit auftaucht, und es ist auch bemerkenswert, weil die scheinbar unhandliche Definition der Fidelität das Lemma tatsächlich sehr einfach zu beweisen macht.

Die Ausgangslage ist folgende. Sei $\mathsf{X}$ ein System im Zustand $\rho$ und $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ eine Sammlung positiv-semidefiniter Matrizen, die eine allgemeine Messung von $\mathsf{X}$ darstellen. Angenommen, wenn diese Messung an dem System $\mathsf{X}$ im Zustand $\rho$ durchgeführt wird, ist eines der Ergebnisse sehr wahrscheinlich. Konkret nehmen wir an, dass das wahrscheinliche Messergebnis $0$ ist, und insbesondere nehmen wir an, dass

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

für eine kleine positive reelle Zahl $\varepsilon > 0$ gilt.

Das Lemma über sanfte Messungen besagt, dass unter diesen Annahmen die nicht-destruktive Messung, die aus $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ durch das Naimark-Theorem gewonnen wird, nur eine geringe Störung von $\rho$ verursacht, wenn das wahrscheinliche Messergebnis $0$ beobachtet wird.

Konkret besagt das Lemma, dass das Fidelitätsquadrat zwischen $\rho$ und dem Zustand, den wir aus der nicht-destruktiven Messung bedingt auf das Ergebnis $0$ erhalten, größer als $1-\varepsilon$ ist.

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Um das zu beweisen, benötigen wir eine grundlegende Aussage über Messungen. Die Messmatrizen $P_0, \ldots, P_{m-1}$ sind positiv-semidefinit und summieren sich zur Identität, was es uns erlaubt zu schließen, dass alle Eigenwerte von $P_0$ reelle Zahlen zwischen $0$ und $1$ sind. Das folgt aus der Tatsache, dass für jeden Einheitsvektor $\vert\psi\rangle$ der Wert $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ für jedes $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ eine nichtnegative reelle Zahl ist (weil jedes $P_a$ positiv-semidefinit ist), zusammen damit, dass sich diese Zahlen zu eins addieren.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Daher ist $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ stets eine reelle Zahl zwischen $0$ und $1,$ und das impliziert, dass jeder Eigenwert von $P_0$ eine reelle Zahl zwischen $0$ und $1$ ist, weil wir $\vert\psi\rangle$ speziell als Einheitseigenvektor des jeweiligen Eigenwerts wählen können.

Aus dieser Beobachtung können wir folgende Ungleichung für jede Dichtematrix $\rho$ schließen.

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Im Detail: Ausgehend von einer Spektralzerlegung

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

ergibt sich

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

aus der Tatsache, dass $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ eine nichtnegative reelle Zahl ist und $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ für jedes $k = 0,\ldots,n-1$ gilt. (Das Quadrieren von Zahlen zwischen $0$ und $1$ kann sie nie größer machen.)

Nun können wir das Lemma über sanfte Messungen beweisen, indem wir die Fidelität auswerten und dann unsere Ungleichung nutzen. Zunächst vereinfachen wir den Ausdruck, an dem wir interessiert sind.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Beachte, dass das alles Gleichheiten sind — wir haben unsere Ungleichung (oder eine andere Ungleichung) bis zu diesem Punkt nicht verwendet, sodass wir einen exakten Ausdruck für die Fidelität haben. Wir können nun unsere Ungleichung nutzen, um zu schließen

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

und daher, indem wir beide Seiten quadrieren,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Uhlmanns Theorem

Zum Abschluss der Lektion betrachten wir das Uhlmann-Theorem, eine grundlegende Aussage über die Fidelität, die sie mit dem Begriff der Purifikation verbindet. Was das Theorem in einfachen Worten besagt, ist, dass die Fidelität zwischen beliebigen zwei Quantenzuständen gleich dem maximalen inneren Produkt (im Absolutbetrag) zwischen zwei Purifikationen dieser Zustände ist.

Theorem

Uhlmanns Theorem: Sei $\rho$ und $\sigma$ Dichtematrizen, die Zustände eines Systems $\mathsf{X}$ darstellen, und sei $\mathsf{Y}$ ein System mit mindestens so vielen klassischen Zuständen wie $\mathsf{X}.$ Die Fidelität zwischen $\rho$ und $\sigma$ ist gegeben durch

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

wobei das Maximum über alle Quantenzustandsvektoren $\vert\phi\rangle$ und $\vert\psi\rangle$ von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ genommen wird.

Wir können dieses Theorem mithilfe der unitären Äquivalenz von Purifikationen beweisen — aber es ist nicht ganz unkompliziert, und wir werden dabei einen Trick verwenden.

Zunächst betrachten wir Spektralzerlegungen der zwei Dichtematrizen $\rho$ und $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Die zwei Sammlungen $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ und $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ sind Orthonormalbasen aus Eigenvektoren von $\rho$ bzw. $\sigma,$ und $p_0,\ldots,p_{n-1}$ und $q_0,\ldots,q_{n-1}$ sind die entsprechenden Eigenwerte.

Wir definieren außerdem $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ und $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ als die Vektoren, die durch Nehmen des komplex Konjugierten jedes Eintrags von $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ bzw. $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle$ erhalten werden. Das heißt, für einen beliebigen Vektor $\vert w\rangle$ können wir $\vert\overline{w}\rangle$ gemäß folgender Gleichung für jedes $c\in\{0,\ldots,n-1\}$ definieren.

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Beachte, dass für beliebige zwei Vektoren $\vert u\rangle$ und $\vert v\rangle$ gilt $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Allgemeiner gilt für jede quadratische Matrix $M$ folgende Formel.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Daraus folgt, dass $\vert u\rangle$ und $\vert v\rangle$ genau dann orthogonal sind, wenn $\vert \overline{u}\rangle$ und $\vert \overline{v}\rangle$ orthogonal sind, und daher sind sowohl $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ als auch $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ Orthonormalbasen.

Betrachten wir nun die folgenden zwei Vektoren $\vert\phi\rangle$ und $\vert\psi\rangle,$ die Purifikationen von $\rho$ bzw. $\sigma$ sind.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Das ist der zuvor erwähnte Trick. Nichts deutet an diesem Punkt explizit darauf hin, dass es eine gute Idee ist, diese speziellen Wahlen für Purifikationen von $\rho$ und $\sigma$ zu treffen. Aber es sind gültige Purifikationen, und die komplexen Konjugationen werden es ermöglichen, dass die Algebra so aufgeht, wie wir es brauchen.

Durch die unitäre Äquivalenz von Purifikationen wissen wir, dass jede Purifikation von $\rho$ für das Systempaar $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ die Form $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ für eine unitäre Matrix $U$ haben muss, und ebenso muss jede Purifikation von $\sigma$ für das Paar $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ die Form $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ für eine unitäre Matrix $V$ haben. Das innere Produkt zweier solcher Purifikationen lässt sich wie folgt vereinfachen.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Da $U$ und $V$ über alle möglichen unitären Matrizen variieren, variiert auch $(U^{\dagger} V)^T$ über alle möglichen unitären Matrizen. Das Maximieren des Absolutwerts des inneren Produkts zweier Purifikationen von $\rho$ und $\sigma$ liefert daher folgende Gleichung.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitär}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitär}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

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