Quantenzustandsdiskriminierung und Tomographie

Im letzten Teil der Lektion betrachten wir kurz zwei Aufgaben im Zusammenhang mit Messungen: Quantenzustandsdiskriminierung und Quantenzustandstomographie.

1. Quantenzustandsdiskriminierung

   Bei der Quantenzustandsdiskriminierung haben wir eine bekannte Sammlung von Quantenzuständen $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ zusammen mit Wahrscheinlichkeiten $p_0,\ldots,p_{m-1},$ die diesen Zuständen zugeordnet sind. Eine prägnante Weise, das auszudrücken, ist zu sagen, dass wir ein Ensemble

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   von Quantenzuständen haben.

   Eine Zahl $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ wird zufällig gemäß den Wahrscheinlichkeiten $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ gewählt, und das System $\mathsf{X}$ wird im Zustand $\rho_a$ präpariert. Das Ziel ist es, durch eine Messung von $\mathsf{X}$ allein zu bestimmen, welcher Wert von $a$ gewählt wurde.

   Wir haben also eine endliche Anzahl von Alternativen sowie einen Prior — unser Wissen über die Wahrscheinlichkeit, mit der jedes $a$ ausgewählt wird — und das Ziel ist es zu bestimmen, welche Alternative tatsächlich eingetreten ist. Das kann für manche Wahlen von Zuständen und Wahrscheinlichkeiten einfach sein, und für andere ist es möglicherweise nicht ohne eine gewisse Fehlerwahrscheinlichkeit möglich.

2. Quantenzustandstomographie

   Bei der Quantenzustandstomographie haben wir einen unbekannten Quantenzustand eines Systems — anders als bei der Quantenzustandsdiskriminierung gibt es also typischerweise keinen Prior und keine Informationen über mögliche Alternativen.

   Diesmal ist es jedoch nicht eine einzige Kopie des Zustands, die zur Verfügung gestellt wird, sondern viele unabhängige Kopien. Das heißt, $N$ identische Systeme $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ werden jeweils unabhängig im Zustand $\rho$ für eine (möglicherweise große) Zahl $N$ präpariert. Das Ziel ist es, eine Annäherung des unbekannten Zustands als Dichtematrix zu finden, indem die Systeme gemessen werden.

Diskriminierung zwischen zwei Zuständen

Der einfachste Fall der Quantenzustandsdiskriminierung ist jener, in dem zwei Zustände, $\rho_0$ und $\rho_1,$ diskriminiert werden sollen.

Stell dir eine Situation vor, in der ein Bit $a$ zufällig gewählt wird: $a = 0$ mit Wahrscheinlichkeit $p$ und $a = 1$ mit Wahrscheinlichkeit $1 - p.$ Ein System $\mathsf{X}$ wird im Zustand $\rho_a$ präpariert, also $\rho_0$ oder $\rho_1$ abhängig vom Wert von $a,$ und uns übergeben. Unser Ziel ist es, den Wert von $a$ durch eine Messung an $\mathsf{X}$ korrekt zu bestimmen. Konkret wollen wir die Wahrscheinlichkeit maximieren, dass unsere Vermutung korrekt ist.

Eine optimale Messung

Eine optimale Methode zur Lösung dieses Problems beginnt mit einer Spektralzerlegung einer gewichteten Differenz zwischen $\rho_0$ und $\rho_1,$ wobei die Gewichte die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Beachte, dass in diesem Ausdruck ein Minuszeichen statt eines Pluszeichens steht: Das ist eine gewichtete Differenz, keine gewichtete Summe.

Wir können die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Vermutung maximieren, indem wir eine projektive Messung $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ wie folgt auswählen. Zunächst teilen wir die Elemente von $\{0,\ldots,n-1\}$ in zwei disjunkte Mengen $S_0$ und $S_1$ auf, je nachdem, ob der entsprechende Eigenwert der gewichteten Differenz nichtnegativ oder negativ ist.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Wir können dann eine projektive Messung wie folgt wählen.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{und}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Es spielt eigentlich keine Rolle, in welche Menge $S_0$ oder $S_1$ wir die Werte von $k$ einschließen, für die $\lambda_k = 0$ gilt. Hier wählen wir diese Werte willkürlich in $S_0$ einzuschließen.)

Das ist eine optimale Messung für die vorliegende Situation, die die Wahrscheinlichkeit einer inkorrekten Bestimmung des gewählten Zustands minimiert.

Korrektheitwahrscheinlichkeit

Nun bestimmen wir die Korrektheitwahrscheinlichkeit für die Messung $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

Zunächst müssen wir uns nicht wirklich um die spezifische Wahl von $\Pi_0$ und $\Pi_1$ sorgen, auch wenn es hilfreich sein kann, sie im Hinterkopf zu behalten. Für jede Messung $\{P_0,P_1\}$ (nicht unbedingt projektiv) können wir die Korrektheitwahrscheinlichkeit wie folgt schreiben.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Unter Verwendung der Tatsache, dass $\{P_0,P_1\}$ eine Messung ist, sodass $P_1 = \mathbb{I} - P_0$ gilt, können wir diesen Ausdruck wie folgt umschreiben.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

Andererseits hätten wir stattdessen die Substitution $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ vornehmen können. Das würde den Wert nicht ändern, gibt uns aber einen alternativen Ausdruck.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Die zwei Ausdrücke haben denselben Wert, sodass wir sie mitteln können, um noch einen weiteren Ausdruck für diesen Wert zu erhalten. (Das Mitteln der zwei Ausdrücke ist nur ein Trick zur Vereinfachung des resultierenden Ausdrucks.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Jetzt sehen wir, warum es sinnvoll ist, die Projektionen $\Pi_0$ und $\Pi_1$ (wie oben angegeben) für $P_0$ und $P_1$ zu wählen — weil das der Weg ist, die Spur im letzten Ausdruck so groß wie möglich zu machen. Insbesondere gilt

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Wenn wir also die Spur nehmen, erhalten wir die Summe der Absolutbeträge der Eigenwerte — was gleich der sogenannten Spurnorm der gewichteten Differenz ist.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ zu einer korrekten Diskriminierung von $\rho_0$ und $\rho_1$ führt, gegeben mit Wahrscheinlichkeiten $p$ und $1-p,$ ist also wie folgt.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Die Tatsache, dass das die optimale Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Diskriminierung von $\rho_0$ und $\rho_1,$ gegeben mit Wahrscheinlichkeiten $p$ und $1-p,$ ist, wird üblicherweise als das Helstrom-Holevo-Theorem bezeichnet (manchmal auch nur als Helstroms Theorem).

Diskriminierung von drei oder mehr Zuständen

Bei der Quantenzustandsdiskriminierung mit drei oder mehr Zuständen gibt es keine bekannte Closed-Form-Lösung für eine optimale Messung, obwohl es möglich ist, das Problem als semidefinites Programm zu formulieren — was effiziente numerische Näherungen optimaler Messungen mit Hilfe eines Computers erlaubt.

Es ist auch möglich, die Optimalität einer gegebenen Messung in einer Zustandsdiskriminierungsaufgabe durch eine Bedingung zu verifizieren (oder zu falsifizieren), die als die Holevo-Yuen-Kennedy-Lax-Bedingung bekannt ist. Konkret ist für die Zustandsdiskriminierungsaufgabe, die durch das Ensemble

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

definiert wird, die Messung $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ genau dann optimal, wenn die Matrix

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

für jedes $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ positiv-semidefinit ist.

Betrachten wir zum Beispiel die Quantenzustandsdiskriminierungsaufgabe, bei der einer der vier tetraedralen Zustände $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ gleichmäßig zufällig ausgewählt wird. Die tetraedrische Messung $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ gelingt mit Wahrscheinlichkeit

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Das ist optimal gemäß der Holevo-Yuen-Kennedy-Lax-Bedingung, da eine Berechnung zeigt, dass

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

für $a = 0,1,2,3$ gilt.

Quantenzustandstomographie

Abschließend diskutieren wir kurz das Problem der Quantenzustandstomographie. Bei diesem Problem sind uns eine große Anzahl $N$ von unabhängigen Kopien eines unbekannten Quantenzustands $\rho$ gegeben, und das Ziel ist es, eine Annäherung $\tilde{\rho}$ von $\rho$ zu rekonstruieren. Um es klarzustellen: Das bedeutet, dass wir eine klassische Beschreibung einer Dichtematrix $\tilde{\rho}$ finden wollen, die so nah wie möglich an $\rho$ ist.

Wir können die Ausgangssituation auch auf folgende Weise beschreiben. Eine unbekannte Dichtematrix $\rho$ wird ausgewählt, und uns werden $N$ Quantensysteme $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ zur Verfügung gestellt, von denen jedes unabhängig im Zustand $\rho$ präpariert wurde. Der Zustand des zusammengesetzten Systems $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ ist also

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ mal)}$$

Das Ziel ist es, Messungen an den Systemen $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ durchzuführen und anhand der Messergebnisse eine Dichtematrix $\tilde{\rho}$ zu berechnen, die $\rho$ nahekommt. Das ist ein faszinierendes Problem, zu dem aktive Forschung betrieben wird.

Es können verschiedene Typen von Strategien für die Herangehensweise an das Problem betrachtet werden. Wir können uns zum Beispiel eine Strategie vorstellen, bei der jedes der Systeme $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ separat und nacheinander gemessen wird, was eine Folge von Messergebnissen erzeugt. Es können verschiedene spezifische Wahlen für die durchzuführenden Messungen getroffen werden, einschließlich adaptiver und nicht-adaptiver Auswahlen. Mit anderen Worten: Die Wahl, welche Messung an einem bestimmten System durchgeführt wird, kann von den Ergebnissen vorheriger Messungen abhängen oder nicht. Basierend auf der Folge von Messergebnissen wird eine Vermutung $\tilde{\rho}$ für den Zustand $\rho$ abgeleitet — und auch hier gibt es verschiedene Methodologien.

Ein alternativer Ansatz ist die Durchführung einer einzigen gemeinsamen Messung der gesamten Sammlung, bei der wir $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ als ein einziges System betrachten und eine einzige Messung auswählen, deren Ausgabe eine Vermutung $\tilde{\rho}$ für den Zustand $\rho$ ist. Das kann zu einer verbesserten Schätzung führen im Vergleich zu dem, was bei separaten Messungen der einzelnen Systeme möglich ist, obwohl eine gemeinsame Messung aller Systeme zusammen wahrscheinlich viel schwieriger zu implementieren ist.

Qubit-Tomographie mit Pauli-Messungen

Wir betrachten nun die Quantenzustandstomographie im einfachen Fall, in dem $\rho$ eine Qubit-Dichtematrix ist. Wir nehmen an, dass uns Qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ gegeben sind, die sich jeweils unabhängig im Zustand $\rho$ befinden, und unser Ziel ist es, eine Annäherung $\tilde{\rho}$ zu berechnen, die nah an $\rho$ ist.

Unsere Strategie besteht darin, die $N$ Qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ in drei ungefähr gleich große Gruppen aufzuteilen, eine für jede der drei Pauli-Matrizen $\sigma_x,$ $\sigma_y$ und $\sigma_z.$ Jedes Qubit wird dann unabhängig wie folgt gemessen.

1. Für jedes der Qubits in der Gruppe, die $\sigma_x$ zugeordnet ist, führen wir eine $\sigma_x$-Messung durch. Das bedeutet, dass das Qubit bezüglich der Basis $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\}$ gemessen wird, die eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\sigma_x$ ist, und die entsprechenden Messergebnisse sind die Eigenwerte der zwei Eigenvektoren: $+1$ für den Zustand $\vert + \rangle$ und $-1$ für den Zustand $\vert -\rangle.$ Indem wir die Ergebnisse über alle Zustände in der $\sigma_x$-Gruppe mitteln, erhalten wir eine Annäherung des Erwartungswerts

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Für jedes der Qubits in der Gruppe, die $\sigma_y$ zugeordnet ist, führen wir eine $\sigma_y$-Messung durch. Eine solche Messung ist ähnlich einer $\sigma_x$-Messung, außer dass die Messbasis $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\}$ ist, die Eigenvektoren von $\sigma_y.$ Indem wir die Ergebnisse über alle Zustände in der $\sigma_y$-Gruppe mitteln, erhalten wir eine Annäherung des Erwartungswerts

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Für jedes der Qubits in der Gruppe, die $\sigma_z$ zugeordnet ist, führen wir eine $\sigma_z$-Messung durch. Diesmal ist die Messbasis die Standardbasis $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ die Eigenvektoren von $\sigma_z.$ Indem wir die Ergebnisse über alle Zustände in der $\sigma_z$-Gruppe mitteln, erhalten wir eine Annäherung des Erwartungswerts

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Sobald wir Annäherungen

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

durch Mitteln der Messergebnisse für jede Gruppe erhalten haben, können wir $\rho$ annähern als

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

Im Grenzwert, wenn $N$ gegen unendlich geht, konvergiert diese Annäherung in Wahrscheinlichkeit zur wahren Dichtematrix $\rho$ durch das Gesetz der großen Zahlen, und bekannte statistische Schranken (wie die Hoeffding-Ungleichung) können verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu begrenzen, dass die Annäherung $\tilde{\rho}$ um verschiedene Beträge von $\rho$ abweicht.

Ein wichtiger Punkt ist jedoch, dass die Matrix $\tilde{\rho},$ die auf diese Weise erhalten wird, möglicherweise keine Dichtematrix ist. Obwohl sie stets eine Spur gleich $1$ hat, kann sie möglicherweise nicht positiv-semidefinit sein. Es gibt verschiedene bekannte Strategien, um eine solche Annäherung $\tilde{\rho}$ zu einer Dichtematrix zu „runden", eine davon ist, eine Spektralzerlegung zu berechnen, negative Eigenwerte durch $0$ zu ersetzen und dann zu renormalisieren (indem man die erhaltene Matrix durch ihre Spur dividiert).

Qubit-Tomographie mit der tetraedrischen Messung

Eine weitere Option für die Qubit-Tomographie ist, jedes Qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ mit der tetraedrischen Messung $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ zu messen, die zuvor beschrieben wurde. Das heißt,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

für

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Jedes Ergebnis wird eine bestimmte Anzahl von Malen erhalten, die wir für jedes $a\in\{0,1,2,3\}$ mit $n_a$ bezeichnen, sodass $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ Das Verhältnis dieser Zahlen zu $N$ liefert eine Schätzung der mit jedem möglichen Ergebnis verbundenen Wahrscheinlichkeit:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Schließlich verwenden wir die folgende bemerkenswerte Formel:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Um diese Formel herzuleiten, können wir folgende Gleichung für die Betragsquadrate der inneren Produkte tetraedrischer Zustände verwenden, die durch direkte Berechnung überprüft werden kann.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Die vier Matrizen

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

sind linear unabhängig, sodass es genügt zu beweisen, dass die Formel wahr ist, wenn $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ für $b = 0,1,2,3$ gilt. Insbesondere gilt

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

und daher

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Wir erhalten eine Annäherung von $\rho:$

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Diese Annäherung ist stets eine hermitesche Matrix mit Spur gleich eins, kann aber möglicherweise nicht positiv-semidefinit sein. In diesem Fall muss die Annäherung zu einer Dichtematrix „gerundet" werden, ähnlich der Strategie bei Pauli-Messungen.