Schwellenwert-Theorem

Das letzte Diskussionsthema der Lektion ist ein sehr wichtiges Theorem, das als Schwellenwert-Theorem bekannt ist. Hier ist eine etwas informelle Formulierung dieses Theorems.

Theorem

Das Schwellenwert-Theorem: Ein Quantenschaltkreis der Größe $N$ kann mit hoher Genauigkeit durch einen verrauschten Quantenschaltkreis implementiert werden, sofern die Fehlerwahrscheinlichkeit an jeder Stelle im verrauschten Schaltkreis unter einem festen, von null verschiedenen Schwellenwert $p_{\text{th}} > 0$ liegt. Die Größe des verrauschten Schaltkreises skaliert mit $O(N \log^c(N))$ für eine positive Konstante $c.$

Einfach gesagt besagt das Theorem: Wenn wir einen beliebigen Quantenschaltkreis mit $N$ Gates haben, wobei $N$ beliebig groß sein kann, dann ist es möglich, diesen Schaltkreis mit hoher Genauigkeit mithilfe eines verrauschten Quantenschaltkreises zu implementieren, solange das Rauschen unter einem bestimmten Schwellenwert liegt, der unabhängig von $N$ ist. Außerdem ist dies nicht zu teuer: Die Größe des benötigten verrauschten Schaltkreises ist von der Ordnung $N$ mal einer konstanten Potenz des Logarithmus von $N$.

Um das Theorem formal zu formulieren, müsste man das Rauschmodell spezifizieren, was in dieser Lektion nicht getan wird. Es kann zum Beispiel für das unabhängige stochastische Rauschmodell bewiesen werden, das zuvor erwähnt wurde – bei dem Fehler unabhängig an jeder möglichen Stelle im Schaltkreis mit einer Wahrscheinlichkeit auftreten, die strikt kleiner als der Schwellenwert ist –, aber es kann auch für allgemeinere Rauschmodelle bewiesen werden, bei denen Korrelationen zwischen Fehlern möglich sind.

Dies ist ein theoretisches Ergebnis, und die typischste Beweismethode ist nicht unbedingt auf einen praktischen Ansatz übertragbar, hat aber dennoch große praktische Bedeutung. Insbesondere zeigt es, dass es kein grundlegendes Hindernis für die Durchführung von Quantenberechnungen mit verrauschten Komponenten gibt; solange die Fehlerrate dieser Komponenten unter dem Schwellenwert liegt, können sie verwendet werden, um zuverlässige Quantenschaltkreise beliebiger Größe zu bauen. Eine alternative Weise, seine Bedeutung zu beschreiben: Wenn das Theorem nicht wahr wäre, wäre es schwer vorstellbar, dass groß angelegtes Quantencomputing jemals Wirklichkeit werden könnte.

Es gibt viele technische Details in formalen Beweisen dieses Theorems, die hier nicht kommuniziert werden – aber die wesentlichen Ideen lassen sich dennoch auf intuitiver Ebene erklären. Um diese Erklärung so einfach wie möglich zu gestalten, nehmen wir an, dass wir den $7$-Qubit-Steane-Code für die Fehlerkorrektur verwenden. Das wäre eine unpraktische Wahl für eine tatsächliche physische Implementierung – was sich in einem winzigen Schwellenwert $p_{\text{th}}$ widerspiegeln würde –, aber es eignet sich gut, um die wesentlichen Ideen zu vermitteln. Diese Erklärung wird auch eher lässig mit dem Rauschmodell umgehen, wobei angenommen wird, dass ein Fehler jede Stelle in einer fehlertoleranten Implementierung unabhängig mit Wahrscheinlichkeit $p$ trifft.

Wenn die Wahrscheinlichkeit $p$ größer ist als der Kehrwert von $N$, der Größe des zu implementierenden Schaltkreises, besteht eine sehr gute Chance, dass irgendwo ein Fehler auftritt. Wir können also versuchen, eine fehlertolerante Implementierung dieses Schaltkreises auszuführen, indem wir der in der Lektion skizzierten Vorgehensweise folgen. Wir können uns dann die zuvor vorgeschlagene Frage stellen: Verbessert das die Situation oder verschlechtert sie?

Wenn die Wahrscheinlichkeit $p$ eines Fehlers an jeder Stelle zu groß ist, werden unsere Bemühungen nicht helfen und könnten die Situation sogar verschlechtern – genau wie der $9$-Qubit-Shor-Code nicht hilft, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit über ca. 3,23% liegt. Insbesondere ist die fehlertolerante Implementierung erheblich größer als unser ursprünglicher Schaltkreis, sodass es viel mehr Stellen gibt, an denen Fehler auftreten könnten.

Wenn $p$ jedoch klein genug ist, werden wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für die logische Berechnung, die wir durchführen, erfolgreich reduzieren. (In einem formalen Beweis müssten wir an diesem Punkt sehr sorgfältig sein: Fehler in der logischen Berechnung werden nicht unbedingt genau durch das ursprüngliche Rauschmodell beschrieben. Das motiviert tatsächlich weniger nachsichtige Rauschmodelle, bei denen Fehler möglicherweise nicht unabhängig sind – aber wir werden dieses Detail für die Zwecke dieser Erklärung beiseitelassen.)

Genauer gesagt: Damit ein logischer Fehler im ursprünglichen Schaltkreis auftreten kann, müssen mindestens zwei Fehler in denselben Codeblock in der fehlertoleranten Implementierung fallen, da der Steane-Code jeden einzelnen Fehler in einem Codeblock korrigieren kann. Wenn man bedenkt, dass es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, zwei oder mehr Fehler im selben Codeblock zu haben, lässt sich argumentieren, dass die Wahrscheinlichkeit eines logischen Fehlers an jeder Stelle im ursprünglichen Schaltkreis höchstens $C p^2$ für eine feste positive reelle Zahl $C$ beträgt, die vom Code und den Gadgets abhängt, aber nicht von $N$, der Größe des ursprünglichen Schaltkreises. Wenn $p$ kleiner als $1/C$ ist – der Wert, den wir als unseren Schwellenwert $p_{\text{th}}$ nehmen können –, entspricht dies einer Fehlerreduktion.

Diese neue Fehlerrate könnte jedoch immer noch zu hoch sein, um den gesamten Schaltkreis korrekt funktionieren zu lassen. Ein naheliegender nächster Schritt ist, einen besseren Code und bessere Gadgets zu wählen, um die Fehlerrate auf einen Punkt zu senken, an dem die Implementierung wahrscheinlich funktioniert. Theoretisch gesehen ist ein einfacher Weg, zu argumentieren, dass dies möglich ist, die Verkettung. Das bedeutet, wir können die fehlertolerante Implementierung des ursprünglichen Schaltkreises wie jeden anderen Quantenschaltkreis betrachten und diesen neuen Schaltkreis dann fehlertolerant implementieren, indem wir dasselbe Schema verwenden. Wir können das dann wieder und wieder tun, so oft wie nötig, um die Fehlerrate auf ein Niveau zu senken, das die ursprüngliche Berechnung ermöglicht.

Um eine ungefähre Vorstellung davon zu bekommen, wie die Fehlerrate durch diese Methode abnimmt, betrachten wir, wie es für einige Iterationen funktioniert. Beachte, dass eine rigorose Analyse verschiedene technische Details berücksichtigen müsste, die wir hier weglassen.

Wir beginnen mit der Fehlerwahrscheinlichkeit $p$ für Stellen im ursprünglichen Schaltkreis. Unter der Annahme, dass $p < p_{\text{th}} = 1/C$, kann die logische Fehlerrate nach der ersten Iteration durch $Cp^2 = (Cp) p$ begrenzt werden. Wenn wir die fehlertolerante Implementierung wie jeden anderen Schaltkreis behandeln und ihn fehlertolerant implementieren, erhalten wir eine Schranke für die logische Fehlerrate von

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

Eine weitere Iteration reduziert die Fehlerschranke weiter auf

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

Wenn wir auf diese Weise insgesamt $k$ Iterationen fortfahren, ergibt sich eine logische Fehlerrate (für den ursprünglichen Schaltkreis), die durch

$$(Cp)^{2^k - 1} p$$

begrenzt wird, was doppelt exponentiell in $k$ ist.

Das bedeutet, dass wir nicht viele Iterationen benötigen, um die Fehlerrate extrem klein zu machen. Gleichzeitig wächst die Größe der Schaltkreise mit jeder Verkettungsebene, aber die Größe nimmt nur einfach exponentiell mit der Anzahl der Ebenen $k$ zu. Das liegt daran, dass die Größe mit jeder Fehlertoleranzebene um höchstens einen Faktor wächst, der durch die maximale Größe der verwendeten Gadgets bestimmt wird. Wenn alles zusammengefügt und eine geeignete Anzahl von Verkettungsebenen gewählt wird, ergibt sich das Schwellenwert-Theorem.

Was ist dieser Schwellenwert nun in der Realität? Die Antwort hängt vom Code und den verwendeten Gadgets ab. Für den Steane-Code zusammen mit Magic-State-Destillation ist er winzig klein und in der Praxis wahrscheinlich nicht erreichbar. Aber unter Verwendung von Oberflächencodes und modernsten Gadgets wurde der Schwellenwert auf eine Größenordnung von 0,1% bis 1% geschätzt.

Da neue Codes und Methoden entdeckt werden, ist es vernünftig zu erwarten, dass der Schwellenwert steigt, während gleichzeitig das Rauschen in tatsächlichen physischen Komponenten abnimmt. Den Punkt zu erreichen, an dem groß angelegte Quantenberechnungen fehlertolerant implementiert werden können, wird nicht einfach sein und nicht über Nacht geschehen. Aber dieses Theorem bietet uns zusammen mit Fortschritten bei Quantencodes und Quantenhardware Optimismus, wenn wir weiterhin auf das ultimative Ziel hinarbeiten, einen groß angelegten, fehlertoleranten Quantencomputer zu bauen.

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