Abbildung (Mapping)

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Einleitung

In dieser Lektion konzentrieren wir uns auf den ersten und oft schwierigsten Schritt bei der Definition eines Quantenprogramms: ein Problem auf einen Quantencomputer abzubilden. Dieser Schritt beschreibt, wie ein Nutzer mit einem Rechenproblem beginnt und es in etwas übersetzt, das auf einem Quantencomputer gelöst werden kann.

In den Lektionen 2 und 3 dieses Kurses haben wir erwähnt, dass die Mapping-Phase der erste von vier Gesamtschritten im Qiskit-Patterns-Framework ist. Aus diesen Lektionen erinnerst du dich vielleicht daran, dass das Ziel des Mappings darin besteht, ein Rechenproblem in eine Kostenfunktion oder einen Erwartungswert zu übersetzen oder umzuschreiben, den wir mit einem Quantencomputer auswerten können.

In Lektion 3 haben wir ein konkretes Beispiel mit max-cut besprochen, einem rechnerisch schwierigen, aber sehr häufigen Problem in der kombinatorischen Optimierung. In diesem Beispiel haben wir mehrere Schritte durchlaufen, um das anfängliche Graphenproblem in eines zu übersetzen, das auf einem Quantencomputer gelöst werden kann. Wir haben das Problem, die maximale Anzahl von Schnitten im Graphen zu finden, in eine Kostenfunktion transformiert, diese Kostenfunktion als Hamiltonoperator umgeschrieben und dann einen Test-Quantenzustand vorbereitet, dessen Grundzustand dem maximalen Schnitt entspricht. Schließlich haben wir einen Quantencircuit konstruiert, der den Testzustand von Interesse darstellt, und dann die spezifischen Gates hinzugefügt, um die zeitliche Entwicklung des Zustands zu ermöglichen. Diese Folge von Schritten war alles Teil des Mappings. Während die genauen Schritte einzigartig für das max-cut-Problem waren, kann das gleiche allgemeine Verfahren auf viele andere Anwendungen angewendet werden, wie Quantenchemie und Quantensimulationen.

Das Mapping kann schwierig sein. Es gibt keine Einheitsstrategie für jedes einzelne Problem, daher kann es einschüchternd sein. In dieser Lektion werden wir uns einige allgemeine Überlegungen zum Mapping ansehen und dann in einige repräsentative Beispielprobleme eintauchen, um die verschiedenen Möglichkeiten zu demonstrieren, ein Problem auf einen Quantencomputer abzubilden.

Allgemeine Überlegungen

Auch wenn die genaue Strategie vom jeweiligen Problem abhängt, verfolgen solche Abbildungen im Wesentlichen zwei Hauptziele.

Zunächst musst du das Problem möglicherweise vereinfachen, um es durchführbar zu machen. Dies ist nicht einzigartig für Quantencomputing – alle wissenschaftlichen Disziplinen verwenden vereinfachte Modelle, um Phänomene zu untersuchen, die sie interessieren, während sie irrelevante Details ignorieren. In der Physik gibt es einen berühmten Ausdruck, der dieses Prinzip auf die Spitze treibt: „Nehmen wir an, die Kuh ist eine Kugel." Es ist oft zu schwierig, ein System genau so zu beschreiben, wie es erscheint, aber wir können stattdessen vernünftige Vereinfachungen vornehmen, die dennoch zu hilfreichen Lösungen führen können. Einige Beispiele, wie wir das im Quantencomputing tun könnten, sind die Begrenzung der Größe oder der Circuit-Tiefe durch die Wahl eines hardware-effizienten Ansatzes, das Abschneiden komplexer Zeitentwicklungen oder das Vernachlässigen von Hamiltonoperator-Termen, die wenig zur endgültigen Energie eines Quantenzustands beitragen.

Zweitens beinhaltet das Mapping das Schreiben des Problems auf eine Weise, die ein Quantencomputer verstehen kann. Das beinhaltet oft das Stellen dieser drei Fragen:

1. Was werden unsere Qubits in unserem Modell repräsentieren?

2. Ist unser Problem kontinuierlich? Da Quantencomputer digital sind, müssen wir, falls das Problem kontinuierlich ist, einen Weg finden, es zu diskretisieren.

3. Stimmt schließlich die Topologie des Problems mit der Topologie der Hardware überein? Falls nicht, müssen wir möglicherweise einige Tricks anwenden, damit es funktioniert.

Lass uns die erste Frage angehen, die im Mittelpunkt vieler Schwierigkeiten beim Verstehen von Mapping steht: Was kann ein Qubit darstellen?

Qubits können verwendet werden, um viele Dinge darzustellen. Das Erste und vielleicht Einfachste ist ein Knoten in einem Graphen. Graphen werden verwendet, um Konnektivität in vielen verschiedenen Arten von mathematischen Problemen zu zeigen, und die Knoten sind ein grundlegendes Element, das einen Punkt oder eine Entität in einem Netzwerk darstellt. Je nachdem, was das gesamte Netzwerk darstellt, könnte das eine Stadt, eine Person oder ein Ferromagnet in einem Gitter sein.

Qubits können auch verwendet werden, um Bosonen und Fermionen darzustellen, obwohl ich hier warnen möchte, dass ein einzelnes Qubit nicht genau einem Boson oder einem Fermion entspricht – es ist etwas komplizierter als das, wie wir in der Lektion noch besprechen werden.

Nun werden die Beispiele etwas komplizierter. Bei diesen Modellen macht es keinen Sinn mehr, von einzelnen Qubits zu sprechen; stattdessen brauchen wir Gruppen von ihnen, um etwas Physisches zu ergeben. Zum Beispiel kann eine Gruppe von Qubits, hier auf einer Heavy-Hex-Topologie dargestellt, verwendet werden, um geometrische Positionen von Aminosäuren darzustellen; Polymerketten. Ein weiteres Beispiel ist die Simulation von Hadronen-Streuung in Hochenergiephysikmodellen, die durch Simulation der zeitlichen Entwicklung eines hadronischen Wellenpakets durchgeführt werden kann. In diesem Fall kann ein Register von Qubits verwendet werden, um verschiedene Zustände eines Quantenfeldes zu kodieren; den Vakuumzustand dieses Feldes oder ein Wellenpaket, das sich auf diesem Vakuum ausbreitet.

Aber an diesem Punkt haben wir abstrakt genug über die vor uns liegende Herausforderung gesprochen. Schauen wir uns diese Beispiele im Detail an.

Mapping-Beispiele

Max-Cut

Beginnen wir mit unserem ersten Beispiel. Eines der einfachsten Mapping-Probleme ist das, das wir bereits eingehend behandelt haben: das max-cut-Beispiel. Bei diesem Problem war das Mapping für uns relativ einfach, da ein Qubit einem Knoten in unserem Graphen entsprach.

Erinnere dich daran: Um das max-cut-Problem abzubilden, haben wir die Kostenfunktion mithilfe der QUBO-Formulierung als Hamiltonoperator ausgedrückt. Eine Hamiltonoperator-Kostenfunktion ist eine Funktion, die die optimale Lösung des Problems im Grundzustand des Hamiltonoperators kodiert. Um den Kosten-Hamiltonoperator zu konstruieren, haben wir die SparsePauliOp-Klasse in Qiskit verwendet, um die Konnektivität unseres Graphen anzugeben, und die Mapping-Phase zu den Quantenoperatoren war erledigt. Und der Quantencircuit war einfach der QAOA-Ansatz. Zur Auffrischung, siehe die Lektion Utility-Scale QAOA, wo wir das alles in viel mehr Detail durchgehen.

In dieser Lektion stimmte die Graphkonnektivität sogar in dem 100-Qubit-Beispiel im Utility-Maßstab bereits mit der Topologie unserer supraleitenden Hardware überein. Wir mussten uns also nicht darum kümmern, wie wir mit verschiedenen Topologien umgehen. Aber das ist nicht immer der Fall. Wenn wir einen komplizierteren oder dichter verbundenen Graphen als die bisher hervorgehobenen Beispiele hätten, müssten wir eine Reihe von SWAP-Gates implementieren, um die effektive Konnektivität der Hardware zu ändern. Dies wird beim zweiten Schritt der Qiskit Patterns, der Transpilierung, behandelt, sollte aber schon beim Mapping-Schritt im Hinterkopf behalten werden.

Proteinfaltung

Als nächstes wollen wir uns ein Beispiel ansehen, das im Paper „Resource-efficient quantum algorithm for protein folding" modelliert wurde, das von IBM® und Mitarbeitern der University of New South Wales geschrieben wurde.

Ein wenig biochemischer Hintergrund: Proteine sind Makromoleküle, die aus langen Aminosäureketten bestehen. Diese Ketten falten sich in komplexe Strukturen, die eine Vielzahl biologischer Funktionen ausführen. Die Bestimmung der Proteinstruktur im dreidimensionalen Raum und das Verständnis der Beziehungen zwischen Struktur und Funktion gehören zu den herausforderndsten Problemen in der heutigen Biochemie. Proteine falten sich in nützliche Strukturen aufgrund von Wechselwirkungen zwischen Aminosäuren. Wenn sich eine Struktur dreht und faltet, können Aminosäuren, die entlang der Kette weit voneinander entfernt sind, direkt nebeneinander zu liegen kommen und stark wechselwirken.

Um dies auf einem Quantencomputer zu modellieren, brauchen wir einen Hamiltonoperator, der alle diese Wechselwirkungen zwischen Aminosäuren beschreibt. Dann können wir die endgültige Struktur vorhersagen, indem wir den Zustand finden, der die Energie unseres Hamiltonoperators minimiert. Wir werden uns hier darauf konzentrieren, wie Aminosäureketten auf einem Quantencomputer modelliert werden können und wie wir Inter-Aminosäure-Abstände zur Berechnung von Wechselwirkungsenergien erhalten können. Damit haben wir alle notwendigen Beiträge zum Hamiltonoperator gesammelt, die notwendig sind, um ihn auf einem Quantencomputer zu simulieren.

In realen Proteinen können Aminosäuren ein Kontinuum möglicher Positionen einnehmen. Wir werden jedoch eine Vereinfachung verwenden und sie mit einem Gittermodell einschränken, bei dem jede Aminosäure einen Punkt auf einem Gitter einnimmt. Hier verwendeten die Autoren ein tetraedrisches Gitter. Kurze Anmerkung: Hier kodieren wir die Richtung der Kanten, nicht die Knoten selbst wie beim max-cut-Problem. Jedes Qubit stellt einen möglichen Einzelschrittweg entlang des tetraedrischen Gitters dar. Beachte, dass benachbarte Gitterplätze als A oder B bezeichnet wurden, wegen ihrer unterschiedlichen Ausrichtungen im Gitter.

Die Proteinkette wird als eine Reihe von Wendungen oder Richtungen auf diesem Gitter dargestellt. Jede Wendung zwischen Aminosäuren kann in eine von vier Richtungen verlaufen, entsprechend den Kanten des Tetraeders. Diese vier möglichen Wendungen werden mit vier Qubits in die Zustände 0001, 0010, 0100 oder 1000 kodiert.

Schauen wir uns ein Beispiel in der obigen Abbildung an. Platzieren wir unsere erste Aminosäure auf dem Punkt mit der Bezeichnung „B", der in unserem tetraedrischen Gitter rot eingekreist ist. Die Richtung zur ersten Aminosäure zur zweiten ist beliebig, da das System immer so gedreht werden kann, dass diese Kante in eine beliebige Richtung zeigt. So können wir unsere zweite Aminosäure auf dem Punkt unter der ersten mit der Bezeichnung „A" platzieren. Es ist nicht so leicht zu sehen, aber der Weg von der zweiten zur dritten ist auch beliebig. Alle drei Entscheidungen würden dazu führen, dass wir zwei Kanten mit einem Winkel von ungefähr 109,5 Grad zwischen ihnen haben. Die Auswahl dieser zweiten Kante bestimmt einfach die Ausrichtung unseres Proteins im Raum. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir also die ersten beiden Wendungen einfach als 0001 und 0010 wählen.

Mit diesen Vereinfachungen wird die Konfiguration der Aminosäurekette durch diesen Ausdruck gegeben:

$$(0001)(0010)(q_9 q_{10} q_{11} q_{12}) \cdots (q_{4N-3} q_{4N-2} q_{4N-1} q_{4N})$$

Bisher haben wir die Tetraeder-Kanten auf Qubits abgebildet, und unser Quantencircuit wird ein Ansatz sein. Nun müssen wir überlegen, wie wir die Energie des Problems in einen Hamiltonoperator kodieren, sodass sein Grundzustand uns das optimale Faltungsmuster ergibt.

Für jede gegebene Konfiguration gibt es eine zugehörige Energie aufgrund von Wechselwirkungen zwischen den Aminosäuren. Diese Wechselwirkungen sind am stärksten, wenn die beiden Aminosäuren nahe beieinander sind. Offensichtlich werden Aminosäuren, die im Rückgrat der Kette benachbart sind, immer miteinander wechselwirken. Aber weil das Protein sich drehen und falten kann, können auch andere Aminosäurepaare wechselwirken. Aminosäuren 10 und 20 könnten beispielsweise nach dem Falten des Proteins an benachbarten Stellen enden. Wir brauchen also eine Formel, um den Abstand $d$ zwischen den Aminosäuren $i$ und $j$ mithilfe der auf den Konfigurations-Qubits kodierten Informationen zu beschreiben. Auf diese Weise können wir ihren Trennungsabstand verwenden, um zu bestimmen, wie stark sie wechselwirken.

Zunächst stellen wir eine Funktion $f_a(i)$ vor, die angibt, ob eine Kante $a$ für die Wendung bei Aminosäure $i$ verwendet wird oder nicht. Hier kann $a$ eine der vier möglichen Richtungen annehmen. Basierend auf der Konfiguration, mit der wir oben begonnen haben, können wir diese Funktionen schreiben:

$$\begin{aligned} f_0(i) &= q_{4i-3} \\ f_1(i) &= q_{4i-2} \\ f_2(i) &= q_{4i-1} \\ f_3(i) &= q_{4i} \end{aligned}$$

Dann können wir einen Unterschied in der Anzahl der $a$-markierten Wendungen auf A- und B-Gittern vom Index $i$ bis zum Index $j$ als $\Delta n$ definieren:

$$\begin{aligned} \Delta n_a(i,j) &= \sum\limits_{k=i}^{j}{(-1)^k f_a(k)} \end{aligned}$$

Warum würden wir das tun? Nun, es stellt sich heraus, dass eine Wendung von $a$ von Gitterstelle A nach B genau durch eine Wendung von $a$ von Gitterstelle B nach A aufgehoben wird. Um also den Abstand der Aminosäure an Stelle $i$ von der an Stelle $j$ zu kennen, müssen wir nur die Differenz zwischen Schritten auf $a$-Kanten von A-Stellen und B-Stellen finden. Da sich A- und B-Stellen notwendigerweise entlang des Proteinrückgrats abwechseln, wird dies durch das $(-1)^k$ erfasst. Das gleiche Argument gilt für alle vier Kantentypen. Der Gesamtabstand zwischen Aminosäuren in tetraedrischen Gitterschritten kann also durch diesen Ausdruck berechnet werden:

$$\begin{aligned} d(i,j) &= \sum\limits_{a}{||\Delta n_a(i,j)||^2} \\ &= (\Delta n_0(i,j))^2 + (\Delta n_1(i,j))^2 + (\Delta n_2(i,j))^2 + (\Delta n_3(i,j))^2 \end{aligned}$$

Aber wie bekommen wir den Hamiltonoperator aus dieser langen Gleichung für den Gesamtabstand zwischen den Aminosäuren? Zunächst können wir mit einfacher Geometrie vom Abstand in Gitterschritten zum Euklidischen Raum konvertieren:

$$\begin{aligned} d(i,j) &= 0 \rightarrow r_{ij} = 0 \\ d(i,j) &= 1 \rightarrow r_{ij} = 1 \\ d(i,j) &= 2 \rightarrow r_{ij} = 2\sqrt\frac{2}{3} \approx 1.63 \\ d(i,j) &= 3 \rightarrow r_{ij} = \sqrt\frac{11}{3} \approx 1.91 \\ d(i,j) &= 4 \rightarrow r_{ij} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 \\ d(i,j) &= 5 \rightarrow r_{ij} = \sqrt\frac{19}{3} \approx 2.52 \end{aligned}$$

Diese Abstände werden dann zur Berechnung der Energie der Proteinkonfiguration verwendet. Je nach unseren Zwecken könnten wir einen Grenzabstand festlegen, unterhalb dessen wir das Paar als wechselwirkend betrachten, oder wir könnten etwas Komplizierteres tun.

Es mag nicht offensichtlich sein, aber wir sind eigentlich mit der Mapping-Phase fertig, indem wir das tun. Die Zustände der Qubits geben die „Wendung" des Proteins an jedem Gitterpunkt an, und die Sammlung von Wendungen bestimmt den Abstand zwischen jedem Paar von Aminosäuren. Paare verschiedener Arten von Aminosäuren haben unterschiedliche Wechselwirkungen, einige attraktiv, andere abstoßend. Wenn du die Konfiguration und die Abstände nur dazu verwendest zu bestimmen, ob bekannte Aminosäure-Wechselwirkungen „ein" oder „aus" sind, wurden die Stärken dieser Wechselwirkungen bereits herausgearbeitet und können einfach in einer Tabelle wie dieser nachgeschlagen werden:

Zusammenfassend: In diesem Beispiel werden die Qubits verwendet, um Schritte auf einem Pfad entlang eines Gitters zu markieren, die zusammen eine Aminosäurekette bilden. Indem wir simulieren, wie sie sich biegen und falten, können wir hoffentlich bessere Ergebnisse in der medizinischen Forschung erzielen. Wir haben übersprungen, wie man einige Terme dieses Hamiltonoperators berechnet, da sie hyper-spezifisch für dieses Problem waren, während das Definieren von Richtungen auf einem Gitter allgemeiner angewendet werden kann. Wenn du einmal einen allgemeinen Hamiltonoperator hast, möchtest du ihn immer in Pauli-Operatoren übersetzen, die nativ für den Quantencomputer sind. Das werden wir als nächstes besprechen.

Jordan-Wigner-Transformation

Lass uns nun erkunden, wie man ein System subatomarer Teilchen in Pauli-Operatoren übersetzt.

Subatomare Teilchen werden in zwei Kategorien unterteilt – Bosonen und Fermionen. Bosonen, wie Photonen oder das Higgs, gehorchen einem bestimmten Satz statistischer Regeln. Fermionen, wie Elektronen oder Neutrinos, gehorchen einem anderen. Der wesentliche Unterschied zwischen ihnen ist, dass Bosonen denselben Zustand einnehmen dürfen – es gibt keine Begrenzung dafür, wie viele Bosonen sich im Grundzustand oder einem angeregten Zustand befinden können. Fermionen hingegen sind „egoistisch" – sie fordern, dass jedes einzelne Teilchen seinen eigenen Quantenzustand hat.

Bosonen haben auch ganzzahlige Spins, während Fermionen halbzahlige Spins haben, wie das Spin-1/2-Elektron und exotischere Spin-3/2-Teilchen. Um ein System von Teilchen zu beschreiben, brauchen wir eine Beschreibung ihrer Energie. Konzentrieren wir uns auf Fermionen. Wir können mit einem Hamiltonoperator beginnen, der in Termen dessen geschrieben ist, was wir c-Operatoren nennen. Das sind im Grunde mathematische Objekte, die dem Erzeugen oder Vernichten eines Fermions aus einem Zustand im System entsprechen. Diese werden oft als $f_i^\dagger$ und $f_j$ geschrieben, wobei $f_i^\dagger$ der Operator ist, der ein Fermion im Zustand $i$ erzeugt, und $f_j$ der Operator ist, der ein Fermion im Zustand $j$ vernichtet.

Aber denk daran: Quantencomputer arbeiten normalerweise in einer Qubit-Basis mit spezifischen Regeln für die Darstellung fermionischer Systeme; sie arbeiten nicht inhärent in der Sprache fermionischer Operatoren. Um diese Lücke zu überbrücken, müssen wir diese fermionische Notation auf Pauli-Operatoren abbilden, die natürlicherweise Quantengates entsprechen.

Es gibt mehrere solche Transformationen für Fermionen. Eine gängige Wahl ist die Jordan-Wigner-Transformation. Die Bravyi-Kitaev- und Paritätsabbildungen sind neuere fermionische Kodierungen. Bosonische Operatoren können durch die Holstein-Primakoff-Transformation oder durch direkte Abbildung der Fock-Zustände auf eine Unterbasis der verfügbaren bosonischen Moden transformiert werden. Andere Kodierungen werden ebenfalls aktiv erforscht. Für jetzt werden wir uns nur auf die Jordan-Wigner-Transformation konzentrieren.

Die Jordan-Wigner-Transformation beinhaltet die Abbildung eines einzelnen Fermions auf viele Qubits. Warum können wir nicht einfach ein Qubit zuweisen, um jedes Elektron darzustellen? Das hängt mit der Unterscheidbarkeit identischer Fermionen zusammen. Qubits sind unterscheidbar und Elektronen nicht. Zum Beispiel können wir einzelne Qubits auf jedem Gerät leicht beschriften und identifizieren. Aber die Ununterscheidbarkeit von Elektronen bedeutet, dass wir sie überhaupt nicht beschriften können. Daher müssen wir die Operatoren tatsächlich gemäß besetzten Orbitalen beschriften, wie 1s, 2p, 2p usw., anstatt spezifischen Elektronen. Jedes Qubit spielt also ungefähr die Rolle eines Orbitals im Molekül, das entweder besetzt oder unbesetzt ist. Aber wie wir das tun, ist etwas komplizierter. Die Jordan-Wigner-Abbildung verfolgt die Antisymmetrie und stellt die korrekten Statistiken des gesamten fermionischen Systems sicher. Die Jordan-Wigner-Abbildung drückt fermionische Operatoren in Termen von Pauli-Operatoren mit diesen Beziehungen aus:

$$\begin{aligned} f_j^\dagger &= \Bigl( \prod\limits_{k \lt j}{(-Z_k)} \Bigr)\Bigl( \frac{X_j - i Y_j}{2} \Bigr) \\ f_j &= \Bigl( \prod\limits_{k \lt j}{(-Z_k)} \Bigr)\Bigl( \frac{X_j + i Y_j}{2} \Bigr) \end{aligned}$$

Falls dir das rückwärts vorkommt (insbesondere das Vorzeichen zwischen $X$ und $iY$), sieh dir die optionale Anmerkung unten zu den Konventionen an, welcher Zustand $|0\rangle$ oder $|1\rangle$ „besetzt“ und welcher „unbesetzt“ entspricht.

Optionale Anmerkungen zu Konventionen

In vielen physikalischen Kontexten gibt es keine Mehrdeutigkeit bei der Interpretation der Operatoren $\sigma^\pm$; sie erhöhen/verringern die z-Projektion des Spin-Drehimpulses eines Systems. $\sigma^+$ überführt beispielsweise einen Zustand mit Spin-Drehimpuls $|m_s\rangle$ in einen Zustand mit $|m_s+1\rangle$. Wenn jedoch ein Mapper angewendet wird, um fermionische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren mithilfe dieser Drehimpulsoperatoren (Kombinationen von Pauli-Operatoren) auszudrücken, entspricht das Erhöhen/Verringern nun der Besetzung eines elektronischen Orbitals. „Erhöhen“ und „Verringern“ sind eindeutig, wenn die Aktion darin besteht, die Projektion des Drehimpulses auf eine bestimmte Achse und die entsprechende Bezeichnung zu erhöhen oder zu verringern. Bei der Besetzung elektronischer Orbitale könnte man $|0\rangle$ mit leer und $|1\rangle$ mit besetzt assoziieren. Das mag wie die naheliegende Konvention erscheinen, und tatsächlich ist es diejenige, die in Qiskit Addons verwendet wird. Beachte jedoch, dass es möglich ist, $|0\rangle$ im Sinne eines Elektrons, das in den Grundzustand eines Systems relaxiert, als „besetzt“ zu wählen, und $|1\rangle$ als „unbesetzt“. Es ist eine freie Wahl und eine mögliche Mehrdeutigkeit bei der Bezeichnung: Welcher Zustand entspricht einem besetzten Orbital? $|0\rangle$ oder $|1\rangle$?

Es ist inzwischen im Kontext des Quantencomputings sowie in integrierten Mappern wie dem Qiskit-Addon FermionicMapper einigermaßen standardisiert, Folgendes festzulegen:

$$\begin{aligned} |0\rangle & = \text{ empty}\\ |1\rangle & = \text{ occupied} \end{aligned}$$

Äquivalent dazu muss sich ein Operator, der ein Elektron erzeugt, das das Orbital $k$ besetzt (dargestellt durch das Qubit $q_k$), wie folgt verhalten:

$$O_k |q_N,...,q_k=0,...,q_0\rangle = c |q_N,...,q_k=1,...,q_0\rangle$$

Sehen wir uns nun die Konsequenzen dieser Wahl an. Beachte, dass in den in der Quanteninformatik üblichen Standardbasen,

$$\sigma^+ = \frac{X+iY}{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$

sodass

$$\sigma^+ |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} = |0\rangle$$

und durch ähnliche Rechnungen können wir die vollständige Menge konstruieren:

$$\sigma^+ |0\rangle = 0 \sigma^+ |1\rangle = |0\rangle \sigma^- |0\rangle = |1\rangle \sigma^- |1\rangle = 0$$

Daraus wird deutlich, dass wir bei der scheinbar vernünftigen Konvention, dass $|0\rangle$ keinem Elektron und $|1\rangle$ einem Elektron entspricht, in die verwirrende Situation geraten, dass $\sigma^+$ im Vernichtungsoperator und $\sigma^-$ im Erzeugungsoperator auftaucht. Die Konvention in Qiskit Fermions (dass $|0\rangle$ besetzt und $|1\rangle$ unbesetzt entspricht) führt somit dazu, dass der fermionische Erzeugungsoperator $f_k^\dagger$ den Term $\sigma_k^-$ enthält und der Vernichtungsoperator $f_k$ den Term $\sigma_k^+$ enthält.

Wenn du Quellen findest, die entgegengesetzte Vorzeichen zwischen den Termen $X$ und $iY$ in den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren verwenden, nutzen sie wahrscheinlich die entgegengesetzte Konvention dafür, welcher Zustand einem besetzten Orbital entspricht.

Die Jordan-Wigner-Abbildung ist konzeptionell einfach wegen der Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Orbitalen und Qubits. Es gibt andere Abbildungen, die ein ähnliches Ziel erreichen, einschließlich der Paritätsabbildung. Die Berechnung der Parität eines Zustands erfordert die Berücksichtigung mehrerer Qubits. In der Paritätsabbildung (und einigen anderen) gilt die Interpretation, dass ein Qubit einem Orbital entspricht, nicht. Lass uns nun ein einfaches Beispiel durchgehen. Angenommen, wir möchten die Einzel-Qubit-Wechselwirkung $f_0^\dagger f_0$ berechnen. Wir beginnen damit, unsere Definitionen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren einzusetzen.

$$\begin{aligned} f_0^\dagger f_0 &= \biggl( \prod_{k < 0} (-Z_k)^2 \biggr) \biggl( \frac{X_0 - i Y_0}{2} \biggr) \biggl( \frac{X_0 + i Y_0}{2} \biggr) \\ &= \frac{1}{4} (X_0^2 - i Y_0 X_0 + i X_0 Y_0 + Y_0^2) \\ &= \frac{1}{4} (2 I + i[X_0,Y_0]) \end{aligned}$$

Der Kommutator $[X_0, Y_0] = 2i Z_0$. Der endgültige Ausdruck wird also:

$$\begin{aligned} f_0^\dagger f_0 = \frac{1}{2}(I-Z_0) \end{aligned}$$

Wir haben also erfolgreich einen fermionischen Ausdruck in Pauli-Operatoren umgeschrieben, die unser Quantencomputer verstehen kann. Lass uns kurz besprechen, wie wir die Jordan-Wigner-Abbildung in Qiskit implementieren würden. Es ist wichtig zu verstehen, wie diese Art von Transformationen funktioniert, aber es wäre unpraktisch, sie jedes Mal manuell auszuführen – besonders für große Systeme. Glücklicherweise macht Qiskit dies für uns mit der SparsePauliOp-Funktion einfach.

Auf einer hohen Ebene sind die Schritte:

1. Verwende die Funktion from_list von SparsePauliOp, um einen Identitätsoperator zu erzeugen, der der Größe des zu mappenden Parameterraums entspricht.

2. Verwende entsprechend der zuvor gezeigten Definition der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren die Funktion from_list von SparsePauliOp, um die Pauli-Operatoren $X$, $Y$, $Z$ zu definieren. Dadurch werden die fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf Qubit-Spin-Operatoren abgebildet, wodurch die fermionische Besetzungszahl in die Rechenbasis der Qubits kodiert wird.

3. Erzeuge den gewünschten Hamiltonoperator in der Pauli-Basis, indem du die oben genannten Operatoren auf die interessierenden Orbitale anwendest. Dies entspricht in der Regel der Erzeugung einer Identitätsmatrix, die die Kern- (nicht wechselwirkenden) Orbitale repräsentiert, und der anschließenden Anwendung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf den aktiven Raum, mit Gewichtungen, die den Besonderheiten des jeweiligen Problems entsprechen.

Nachdem wir das Jordan-Wigner-Abbildungsschema vollständig verstanden haben, lass uns ein komplizierteres Beispiel ansehen. Du erinnerst dich vielleicht an das Paper mit dem Titel „Scalable Circuits for Preparing Ground States on Digital Quantum Computers: The Schwinger Model Vacuum on 100 Qubits" aus der vorherigen Lektion. Wir werden das Paper nicht nochmals im Detail durchgehen – wir werden uns nur auf die Jordan-Wigner-Abbildung konzentrieren, die verwendet wird, um den Hamiltonoperator von Gitterpunkten mit $L$ Stellen für das Schwinger-Modell in Abwesenheit eines elektrischen Feldes auszudrücken.

Hier ist es viel schwieriger, genau zu bestimmen, was ein Qubit in diesem Modell darstellt, weil erst die Qubits in ihrer Gesamtheit etwas Physikalisches darstellen, in diesem Fall ein Wellenpaket. Stattdessen kannst du die Qubits grob als diskretisierte Raumstücke betrachten. Hier ist $L$ das Gittervolumen, bei dem jedes Element (Einheitszelle) zwei Qubits umfasst. Die fermionischen Operatoren, die wir auf der vorherigen Folie gesehen haben, beschreiben die Amplitude der Wellenfunktion an einem bestimmten Gitterplatz. Unser Hamiltonoperator enthält also diese fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Wir verwenden daher die Jordan-Wigner-Transformation, um diese Operatoren in die Pauli-Operatoren abzubilden.

$$\begin{aligned} \cal{H} &= \cal{H}_m + \cal{H}_{kin} + \cal{H}_{el} \\ &= \frac{m}{2} \sum\limits_{j=0}^{2L-1} [(-1)^j Z_j + I] + \frac{1}{2} \sum\limits_{j=0}^{2L-2}(\sigma_j^+\sigma_{j+1}^- + h.c.) + \frac{g^2}{2} \sum\limits_{j=0}^{2L-2} \Bigl( \sum\limits_{k \le j} Q_k\Bigr)^2 \end{aligned}$$

wobei $\sigma^+$ der Pauli-Operator $X + iY$ und $\sigma^{-}$ $X - iY$ ist. Sobald wir einen Hamiltonoperator in diesem Format haben, ist der schwierige Teil der Mapping-Phase vorbei, und er kann nun leicht in einen Circuit in Pauli-Operatoren geschrieben werden.

Fazit

Wir haben vier Beispiele diskutiert, wie spezifische Mapping-Techniken in letzter Zeit im Quantencomputing-Bereich eingesetzt wurden, angefangen vom Einfachsten bis hin zur Anwendung der Jordan-Wigner-Transformation auf Hadronendynamik. Vieles davon war sehr technisch, und wenn es neu für dich ist, kann es ziemlich einschüchternd wirken. Aber es wird einfacher, je mehr Zeit du mit Üben verbringst – weshalb dieser Kurs „Quantum Computing in Practice" heißt. Das ist nichts, was man einfach so aus dem Stand beherrscht – es erfordert Einarbeitung, einiges Grübeln und wahrscheinlich auch frustrierende Phasen. Aber ich ermutige dich, bei diesem Unbehagen zu bleiben und die Fragen wirklich zu erforschen, die entstehen, wenn du weitermachst. Es ist der einzige Weg zu lernen.