Quanteninformation

Wir sind nun bereit, zur Quanteninformation im Kontext mehrerer Systeme überzugehen. Ähnlich wie in der vorherigen Lektion über Einzelsysteme ist die mathematische Beschreibung der Quanteninformation für mehrere Systeme dem probabilistischen Fall sehr ähnlich und nutzt ähnliche Konzepte und Techniken.

Quantenzustände

Mehrere Systeme können gemeinsam als einzelne, zusammengesetzte Systeme betrachtet werden. Wir haben dies bereits im probabilistischen Fall beobachtet, und der Quantenfall ist analog. Quantenzustände mehrerer Systeme werden daher durch Spaltenvektoren mit komplexen Zahleneinträgen und euklidischer Norm gleich $1$ dargestellt, genau wie Quantenzustände von Einzelsystemen. Im Fall mehrerer Systeme werden die Einträge dieser Vektoren in Entsprechung mit dem kartesischen Produkt der klassischen Zustandsmengen gesetzt, die mit jedem der einzelnen Systeme assoziiert sind, da dies die klassische Zustandsmenge des zusammengesetzten Systems ist.

Wenn zum Beispiel $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Qubits sind, dann ist die klassische Zustandsmenge des Qubit-Paars $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ gemeinsam als einzelnes System betrachtet, das kartesische Produkt $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Durch Darstellung von Paaren binärer Werte als Binärstrings der Länge zwei assoziieren wir dieses kartesische Produkt mit der Menge $\{00,01,10,11\}.$ Die folgenden Vektoren sind daher alle Beispiele für Quantenzustandsvektoren des Paars $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{und} \quad \vert 01 \rangle.$$

Es gibt Variationen, wie Quantenzustandsvektoren mehrerer Systeme ausgedrückt werden, und wir können die Variation wählen, die unseren Vorlieben entspricht. Hier sind einige Beispiele für den ersten Quantenzustandsvektor oben.

1. Wir können die Tatsache nutzen, dass $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (für beliebige klassische Zustände $a$ und $b$), um stattdessen zu schreiben

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Wir können das Tensorproduktsymbol explizit so schreiben:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Wir können die Kets indizieren, um anzugeben, wie sie den betrachteten Systemen entsprechen, so:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Natürlich können wir Quantenzustandsvektoren auch explizit als Spaltenvektoren schreiben:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Abhängig vom Kontext, in dem sie erscheint, kann eine dieser Variationen bevorzugt werden – aber sie sind alle äquivalent in dem Sinne, dass sie denselben Vektor beschreiben.

Tensorprodukte von Quantenzustandsvektoren

Ähnlich wie bei Wahrscheinlichkeitsvektoren sind auch Tensorprodukte von Quantenzustandsvektoren Quantenzustandsvektoren – und sie repräsentieren wiederum Unabhängigkeit zwischen Systemen.

Im Detail, und beginnend mit dem Fall zweier Systeme, angenommen $\vert \phi \rangle$ ist ein Quantenzustandsvektor eines Systems $\mathsf{X}$ und $\vert \psi \rangle$ ist ein Quantenzustandsvektor eines Systems $\mathsf{Y}.$ Das Tensorprodukt $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ das alternativ als $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ oder als $\vert \phi \otimes \psi \rangle$ geschrieben werden kann, ist dann ein Quantenzustandsvektor des gemeinsamen Systems $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Wir bezeichnen einen Zustand dieser Form wiederum als Produktzustand.

Intuitiv gesprochen, wenn ein Paar von Systemen $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ sich in einem Produktzustand $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ befindet, können wir dies so interpretieren, dass $\mathsf{X}$ im Quantenzustand $\vert \phi \rangle$ ist, $\mathsf{Y}$ im Quantenzustand $\vert \psi \rangle$ ist, und die Zustände der beiden Systeme nichts miteinander zu tun haben.

Die Tatsache, dass der Tensorproduktvektor $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ tatsächlich ein Quantenzustandsvektor ist, steht im Einklang damit, dass die euklidische Norm multiplikativ bezüglich Tensorprodukten ist:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Da $\vert \phi \rangle$ und $\vert \psi \rangle$ Quantenzustandsvektoren sind, haben wir $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ und $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ und daher $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ also ist $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ ebenfalls ein Quantenzustandsvektor.

Dies verallgemeinert sich auf mehr als zwei Systeme. Wenn $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ Quantenzustandsvektoren der Systeme $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sind, dann ist $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ ein Quantenzustandsvektor, der einen Produktzustand des gemeinsamen Systems $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ darstellt. Wir wissen wiederum, dass dies ein Quantenzustandsvektor ist, weil

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Verschränkte Zustände

Nicht alle Quantenzustandsvektoren mehrerer Systeme sind Produktzustände. Zum Beispiel ist der Quantenzustandsvektor

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

von zwei Qubits kein Produktzustand. Um dies zu begründen, können wir genau demselben Argument folgen, das wir im vorherigen Abschnitt für einen probabilistischen Zustand verwendet haben. Das heißt, wenn $(1)$ ein Produktzustand wäre, würden Quantenzustandsvektoren $\vert\phi\rangle$ und $\vert\psi\rangle$ existieren, für die

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Aber dann müsste notwendigerweise gelten

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

was impliziert, dass $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ oder $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (oder beides). Das widerspricht der Tatsache, dass

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

und

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

beide ungleich null sind. Daher stellt der Quantenzustandsvektor $(1)$ eine Korrelation zwischen zwei Systemen dar, und speziell sagen wir, dass die Systeme verschränkt sind.

Beachte, dass der spezifische Wert $1/\sqrt{2}$ für dieses Argument nicht wichtig ist – alles, was wichtig ist, ist, dass dieser Wert ungleich null ist. Daher ist zum Beispiel auch der Quantenzustand

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

kein Produktzustand, durch dasselbe Argument.

Verschränkung ist ein wesentliches Merkmal der Quanteninformation, das in einer späteren Lektion ausführlicher diskutiert wird. Verschränkung kann kompliziert sein, insbesondere für die Arten von verrauschten Quantenzuständen, die durch Dichtematrizen beschrieben werden können (die im Kurs Allgemeine Formulierung der Quanteninformation diskutiert werden, dem dritten Kurs in der Serie Quanteninformation und -berechnung verstehen). Für Quantenzustandsvektoren ist Verschränkung jedoch äquivalent zu Korrelation: Jeder Quantenzustandsvektor, der kein Produktzustand ist, stellt einen verschränkten Zustand dar.

Im Gegensatz dazu ist der Quantenzustandsvektor

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

ein Beispiel für einen Produktzustand.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Daher ist dieser Zustand nicht verschränkt.

Bell-Zustände

Wir werden uns nun einige wichtige Beispiele für Mehrqubit-Quantenzustände ansehen, beginnend mit den Bell-Zuständen. Dies sind die folgenden vier Zwei-Qubit-Zustände:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Die Bell-Zustände sind so benannt zu Ehren von John Bell. Beachten Sie, dass dasselbe Argument, das zeigt, dass $\vert\phi^+\rangle$ kein Produktzustand ist, auch zeigt, dass keiner der anderen Bell-Zustände ein Produktzustand ist: Alle vier Bell-Zustände repräsentieren Verschränkung zwischen zwei Qubits.

Die Sammlung aller vier Bell-Zustände

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

ist als Bell-Basis bekannt. Ihrem Namen entsprechend ist dies eine Basis; jeder Quantenzustandsvektor von zwei Qubits, oder tatsächlich jeder komplexe Vektor überhaupt mit Einträgen, die den vier klassischen Zuständen von zwei Bits entsprechen, kann als Linearkombination der vier Bell-Zustände ausgedrückt werden. Zum Beispiel,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

GHZ- und W-Zustände

Als Nächstes werden wir zwei interessante Beispiele von Zuständen von drei Qubits betrachten. Das erste Beispiel ist der GHZ-Zustand (so benannt zu Ehren von Daniel Greenberger, Michael Horne und Anton Zeilinger, die zuerst einige seiner Eigenschaften untersuchten):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Das zweite Beispiel ist der sogenannte W-Zustand:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Keiner dieser Zustände ist ein Produktzustand, was bedeutet, dass sie nicht als Tensorprodukt von drei Qubit-Quantenzustandsvektoren geschrieben werden können. Wir werden beide dieser Zustände später untersuchen, wenn wir partielle Messungen von Quantenzuständen mehrerer Systeme diskutieren.

Zusätzliche Beispiele

Die Beispiele von Quantenzuständen mehrerer Systeme, die wir bisher gesehen haben, sind Zustände von zwei oder drei Qubits, aber wir können auch Quantenzustände mehrerer Systeme mit verschiedenen klassischen Zustandsmengen betrachten.

Zum Beispiel ist hier ein Quantenzustand von drei Systemen, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ und $\mathsf{Z},$ wobei die klassische Zustandsmenge von $\mathsf{X}$ das binäre Alphabet ist (also ist $\mathsf{X}$ ein Qubit) und die klassische Zustandsmenge von $\mathsf{Y}$ und $\mathsf{Z}$ ist $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Und hier ist ein Beispiel für einen Quantenzustand von drei Systemen, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ und $\mathsf{Z},$ die alle dieselbe klassische Zustandsmenge $\{0,1,2\}$ teilen:

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Systeme mit der klassischen Zustandsmenge $\{0,1,2\}$ werden oft Trits oder (unter der Annahme, dass sie in einem Quantenzustand sein können) Qutrits genannt. Der Begriff Qudit bezieht sich auf ein System mit klassischer Zustandsmenge $\{0,\ldots,d-1\}$ für eine beliebige Wahl von $d.$

Messungen von Quantenzuständen

Standardbasismessungen von Quantenzuständen einzelner Systeme wurden in der vorherigen Lektion diskutiert: Wenn ein System mit klassischer Zustandsmenge $\Sigma$ in einem Quantenzustand ist, der durch den Vektor $\vert \psi \rangle$ dargestellt wird, und dieses System gemessen wird (bezüglich einer Standardbasismessung), dann erscheint jeder klassische Zustand $a\in\Sigma$ mit Wahrscheinlichkeit $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Dies sagt uns, was passiert, wenn wir einen Quantenzustand mehrerer Systeme haben und uns entscheiden, das gesamte zusammengesetzte System zu messen, was äquivalent dazu ist, alle Systeme zu messen.

Um dies präzise zu formulieren, nehmen wir an, dass $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ Systeme mit klassischen Zustandsmengen $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ sind. Wir können dann $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ gemeinsam als einzelnes System betrachten, dessen klassische Zustandsmenge das kartesische Produkt $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ ist. Wenn ein Quantenzustand dieses Systems durch den Quantenzustandsvektor $\vert\psi\rangle$ dargestellt wird und alle Systeme gemessen werden, dann erscheint jedes mögliche Ergebnis $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ mit Wahrscheinlichkeit $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Zum Beispiel, wenn die Systeme $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ gemeinsam im Quantenzustand sind

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

dann ergibt die Messung beider Systeme mit Standardbasismessungen das Ergebnis $(0,\heartsuit)$ mit Wahrscheinlichkeit $9/25$ und das Ergebnis $(1,\spadesuit)$ mit Wahrscheinlichkeit $16/25.$

Partielle Messungen

Betrachten wir nun die Situation, in der wir mehrere Systeme in einem Quantenzustand haben und wir eine echte Teilmenge der Systeme messen. Wie zuvor beginnen wir mit zwei Systemen $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ mit klassischen Zustandsmengen $\Sigma$ bzw. $\Gamma.$

Im Allgemeinen nimmt ein Quantenzustandsvektor von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ die Form an

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

wobei $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ eine Sammlung von komplexen Zahlen ist, die erfüllt

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

was äquivalent dazu ist, dass $\vert \psi \rangle$ ein Einheitsvektor ist.

Wir wissen bereits aus der obigen Diskussion, dass wenn sowohl $\mathsf{X}$ als auch $\mathsf{Y}$ gemessen werden, jedes mögliche Ergebnis $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ mit Wahrscheinlichkeit erscheint

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Wenn wir stattdessen annehmen, dass nur das erste System $\mathsf{X}$ gemessen wird, muss die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ergebnis $a\in\Sigma$ erscheint, daher gleich sein

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Dies ist konsistent mit dem, was wir bereits im probabilistischen Fall gesehen haben, sowie mit unserem aktuellen Verständnis der Physik: Die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ergebnis erscheint, wenn $\mathsf{X}$ gemessen wird, kann unmöglich davon abhängen, ob $\mathsf{Y}$ ebenfalls gemessen wurde oder nicht, da dies eine Kommunikation schneller als Lichtgeschwindigkeit ermöglichen würde.

Nachdem wir ein bestimmtes Ergebnis $a\in\Sigma$ einer Standardbasismessung von $\mathsf{X}$ erhalten haben, erwarten wir natürlich, dass sich der Quantenzustand von $\mathsf{X}$ so ändert, dass er gleich $\vert a\rangle$ ist, genau wie wir es für Einzelsysteme hatten. Aber was passiert mit dem Quantenzustand von $\mathsf{Y}$?

Um diese Frage zu beantworten, können wir zunächst den Vektor $\vert\psi\rangle$ als

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

ausdrücken, wobei

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

für jedes $a\in\Sigma.$ Hier folgen wir derselben Methodik wie im probabilistischen Fall, indem wir die Standardbasiszustände des zu messenden Systems isolieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Standardbasismessung von $\mathsf{X}$ jedes Ergebnis $a$ ergibt, ist wie folgt:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Und als Ergebnis der Standardbasismessung von $\mathsf{X}$, die das Ergebnis $a$ ergibt, wird der Quantenzustand des Paars $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ zusammen zu

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Das heißt, der Zustand "kollabiert" wie im Einzelsystem-Fall, aber nur soweit erforderlich, damit der Zustand mit der Messung von $\mathsf{X}$, die das Ergebnis $a$ erzeugt hat, konsistent ist.

Informell gesprochen repräsentiert $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ die Komponente von $\vert \psi\rangle$, die mit einer Messung von $\mathsf{X}$ konsistent ist, die im Ergebnis $a$ resultiert. Wir normalisieren dann diesen Vektor – indem wir ihn durch seine euklidische Norm dividieren, die gleich $\|\vert\phi_a\rangle\|$ ist – um einen gültigen Quantenzustandsvektor mit euklidischer Norm gleich $1$ zu erhalten. Dieser Normalisierungsschritt ist analog zu dem, was wir im probabilistischen Fall getan haben, als wir Vektoren durch die Summe ihrer Einträge dividierten, um einen Wahrscheinlichkeitsvektor zu erhalten.

Als Beispiel betrachten wir den Zustand von zwei Qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ vom Anfang des Abschnitts:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Um zu verstehen, was passiert, wenn das erste System $\mathsf{X}$ gemessen wird, beginnen wir mit dem Schreiben

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Wir sehen nun, basierend auf der obigen Beschreibung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung im Ergebnis $0$ resultiert, ist

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

in welchem Fall der Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ wird

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

und die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung im Ergebnis $1$ resultiert, ist

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

in welchem Fall der Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ wird

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

Dieselbe Technik, auf symmetrische Weise verwendet, beschreibt, was passiert, wenn das zweite System $\mathsf{Y}$ gemessen wird statt des ersten. Diesmal schreiben wir den Vektor $\vert \psi \rangle$ um als

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung von $\mathsf{Y}$ das Ergebnis $0$ ergibt, ist

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

in welchem Fall der Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ wird

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

und die Wahrscheinlichkeit, dass das Messergebnis $1$ ist, ist

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

in welchem Fall der Zustand von $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ wird

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Anmerkung zu reduzierten Quantenzuständen

Das vorherige Beispiel zeigt eine Einschränkung der vereinfachten Beschreibung der Quanteninformation, nämlich dass sie uns keine Möglichkeit bietet, den reduzierten (oder marginalen) Quantenzustand nur eines von zwei Systemen (oder einer echten Teilmenge einer beliebigen Anzahl von Systemen) zu beschreiben, wie im probabilistischen Fall.

Speziell für einen probabilistischen Zustand von zwei Systemen $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, der durch einen Wahrscheinlichkeitsvektor beschrieben wird

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

können wir den reduzierten oder marginalen probabilistischen Zustand von $\mathsf{X}$ allein als

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

schreiben.

Für Quantenzustandsvektoren gibt es keine analoge Möglichkeit, dies zu tun. Insbesondere für einen Quantenzustandsvektor

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

ist der Vektor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

im Allgemeinen kein Quantenzustandsvektor und repräsentiert das Konzept eines reduzierten oder marginalen Zustands nicht richtig.

Was wir stattdessen tun können, ist uns dem Begriff einer Dichtematrix zuzuwenden, die im Kurs Allgemeine Formulierung der Quanteninformation diskutiert wird. Dichtematrizen bieten uns eine sinnvolle Möglichkeit, reduzierte Quantenzustände zu definieren, die analog zum probabilistischen Fall ist.

Partielle Messungen für drei oder mehr Systeme

Partielle Messungen für drei oder mehr Systeme, bei denen eine echte Teilmenge der Systeme gemessen wird, können auf den Fall von zwei Systemen reduziert werden, indem man die Systeme in zwei Sammlungen teilt, diejenigen, die gemessen werden, und diejenigen, die nicht gemessen werden. Hier ist ein spezifisches Beispiel, das veranschaulicht, wie dies gemacht werden kann. Es demonstriert speziell, wie das Indizieren von Kets durch die Namen der Systeme, die sie repräsentieren, nützlich sein kann – in diesem Fall, weil es uns eine einfache Möglichkeit gibt, Permutationen der Systeme zu beschreiben.

Für dieses Beispiel betrachten wir einen Quantenzustand eines 5-Tupels von Systemen $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ wobei alle fünf dieser Systeme dieselbe klassische Zustandsmenge $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$ teilen:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Wir werden die Situation betrachten, in der das erste und dritte System gemessen werden und die verbleibenden Systeme in Ruhe gelassen werden.

Konzeptionell gesprochen gibt es keinen grundlegenden Unterschied zwischen dieser Situation und einer, in der eines von zwei Systemen gemessen wird. Unglücklicherweise, weil die gemessenen Systeme mit den nicht gemessenen Systemen vermischt sind, stehen wir vor einer Hürde beim Aufschreiben der Ausdrücke, die benötigt werden, um diese Berechnungen durchzuführen.

Eine Möglichkeit fortzufahren, wie oben vorgeschlagen, besteht darin, die Kets zu indizieren, um anzugeben, auf welche Systeme sie sich beziehen. Dies gibt uns eine Möglichkeit, die Systeme im Auge zu behalten, während wir die Ordnung der Kets permutieren, was die Mathematik einfacher macht.

Zunächst kann der obige Quantenzustandsvektor alternativ geschrieben werden als

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Es hat sich nichts geändert, außer dass jedes Ket nun einen Index hat, der angibt, welchem System es entspricht. Hier haben wir die Indizes $0,\ldots,4$ verwendet, aber die Namen der Systeme selbst könnten auch verwendet werden (in einer Situation, in der wir Systemnamen wie $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ und $\mathsf{Z}$ haben, zum Beispiel).

Wir können nun die Kets neu ordnen und Terme wie folgt sammeln:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Die Tensorprodukte sind immer noch implizit, auch wenn Klammern verwendet werden, wie in diesem Beispiel.

Um klar zu sein über das Permutieren der Kets, Tensorprodukte sind nicht kommutativ: Wenn $\vert \phi\rangle$ und $\vert \pi \rangle$ Vektoren sind, dann ist im Allgemeinen $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ verschieden von $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ und ebenso für Tensorprodukte von drei oder mehr Vektoren. Zum Beispiel ist $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ ein anderer Vektor als $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Das Neuordnen der Kets, wie wir es gerade getan haben, sollte nicht so interpretiert werden, als würde es etwas anderes suggerieren.

Vielmehr treffen wir zum Zweck der Durchführung von Berechnungen einfach die Entscheidung, dass es bequemer ist, die Systeme als $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ statt als $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ zu sammeln. Die Indizes an den Kets dienen dazu, dies alles klar zu halten, und wir sind frei, später zur ursprünglichen Ordnung zurückzukehren, wenn wir das tun möchten.

Wir sehen nun, dass, wenn die Systeme $\mathsf{X}_4$ und $\mathsf{X}_2$ gemessen werden, die (von null verschiedenen) Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse wie folgt sind:

• Das Messergebnis $(\heartsuit,\diamondsuit)$ tritt mit Wahrscheinlichkeit auf

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Das Messergebnis $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ tritt mit Wahrscheinlichkeit auf

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Das Messergebnis $(\spadesuit,\clubsuit)$ tritt mit Wahrscheinlichkeit auf

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Wenn das Messergebnis zum Beispiel $(\heartsuit,\diamondsuit)$ ist, wird der resultierende Zustand unserer fünf Systeme zu

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Hier sind wir für die endgültige Antwort zu unserer ursprünglichen Ordnung der Systeme zurückgekehrt, nur um zu veranschaulichen, dass wir dies tun können. Für die anderen möglichen Messergebnisse kann der Zustand auf ähnliche Weise bestimmt werden.

Schließlich sind hier zwei zuvor versprochene Beispiele, beginnend mit dem GHZ-Zustand

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Wenn nur das erste System gemessen wird, erhalten wir das Ergebnis $0$ mit Wahrscheinlichkeit $1/2,$ in welchem Fall der Zustand der drei Qubits zu $\vert 000\rangle$ wird; und wir erhalten auch das Ergebnis $1$ mit Wahrscheinlichkeit $1/2,$ in welchem Fall der Zustand der drei Qubits zu $\vert 111\rangle$ wird.

Für einen W-Zustand andererseits, wiederum unter der Annahme, dass nur das erste System gemessen wird, beginnen wir damit, diesen Zustand so zu schreiben:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung des ersten Qubits im Ergebnis 0 resultiert, ist daher gleich

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

und bedingt darauf, dass die Messung dieses Ergebnis erzeugt, wird der Quantenzustand der drei Qubits zu

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Messergebnis 1 ist, ist $1/3,$ in welchem Fall der Zustand der drei Qubits zu $\vert 100\rangle$ wird.

Der W-Zustand ist symmetrisch in dem Sinne, dass er sich nicht ändert, wenn wir die Qubits permutieren. Wir erhalten daher eine ähnliche Beschreibung für die Messung des zweiten oder dritten Qubits statt des ersten.

Unitäre Operationen

Prinzipiell repräsentiert jede unitäre Matrix, deren Zeilen und Spalten den klassischen Zuständen eines Systems entsprechen, eine gültige Quantenoperation auf diesem System. Dies bleibt natürlich wahr für zusammengesetzte Systeme, deren klassische Zustandsmengen zufällig kartesische Produkte der klassischen Zustandsmengen der einzelnen Systeme sind.

Wenn wir uns auf zwei Systeme konzentrieren, wenn $\mathsf{X}$ ein System mit klassischer Zustandsmenge $\Sigma$ ist und $\mathsf{Y}$ ein System mit klassischer Zustandsmenge $\Gamma$ ist, dann ist die klassische Zustandsmenge des gemeinsamen Systems $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ $\Sigma\times\Gamma.$ Daher werden Quantenoperationen auf diesem gemeinsamen System durch unitäre Matrizen dargestellt, deren Zeilen und Spalten in Entsprechung mit der Menge $\Sigma\times\Gamma$ gesetzt werden. Die Ordnung der Zeilen und Spalten dieser Matrizen ist dieselbe wie die Ordnung, die für Quantenzustandsvektoren des Systems $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ verwendet wird.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass $\Sigma = \{1,2,3\}$ und $\Gamma = \{0,1\},$ und erinnern uns daran, dass die Standardkonvention für die Ordnung der Elemente des kartesischen Produkts $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ diese ist:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Hier ist ein Beispiel für eine unitäre Matrix, die eine Operation auf $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ darstellt:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Diese unitäre Matrix ist nicht besonders, sie ist nur ein Beispiel. Um zu überprüfen, dass $U$ unitär ist, genügt es, zu berechnen und zu überprüfen, dass zum Beispiel $U^{\dagger} U = \mathbb{I}.$ Alternativ können wir überprüfen, dass die Zeilen (oder die Spalten) orthonormal sind, was in diesem Fall einfacher gemacht wird, angesichts der speziellen Form der Matrix $U.$

Die Wirkung von $U$ auf den Standardbasisvektor $\vert 1, 1 \rangle$ ist zum Beispiel

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

was wir sehen können, indem wir die zweite Spalte von $U$ untersuchen, unter Berücksichtigung unserer Ordnung der Menge $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Wie bei jeder Matrix ist es möglich, $U$ unter Verwendung der Dirac-Notation auszudrücken, was 20 Terme für die 20 von null verschiedenen Einträge von $U$ erfordern würde. Wenn wir alle diese Terme tatsächlich aufschreiben würden, anstatt eine $6\times 6$ Matrix zu schreiben, wäre es unordentlich und die Muster, die aus der Matrixdarstellung ersichtlich sind, wären wahrscheinlich nicht so klar. Einfach gesagt, die Dirac-Notation ist nicht immer die beste Wahl.

Unitäre Operationen auf drei oder mehr Systemen funktionieren auf ähnliche Weise, wobei die unitären Matrizen Zeilen und Spalten haben, die dem kartesischen Produkt der klassischen Zustandsmengen der Systeme entsprechen. Wir haben bereits ein Beispiel in dieser Lektion gesehen: die Drei-Qubit-Operation

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

wobei Zahlen in Bras und Kets ihre $3$-Bit-Binärkodierungen bedeuten. Zusätzlich dazu, eine deterministische Operation zu sein, ist dies auch eine unitäre Operation. Operationen, die sowohl deterministisch als auch unitär sind, werden als reversible Operationen bezeichnet. Die konjugiert-transponierte dieser Matrix kann so geschrieben werden:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Dies repräsentiert die Umkehrung, oder in mathematischen Begriffen die Inverse, der ursprünglichen Operation – was wir von der konjugiert-transponierten einer unitären Matrix erwarten. Wir werden weitere Beispiele für unitäre Operationen auf mehreren Systemen sehen, während die Lektion fortgesetzt wird.

Unitäre Operationen, die unabhängig auf einzelnen Systemen durchgeführt werden

Wenn unitäre Operationen unabhängig auf einer Sammlung einzelner Systeme durchgeführt werden, wird die kombinierte Wirkung dieser unabhängigen Operationen durch das Tensorprodukt der unitären Matrizen beschrieben, die sie repräsentieren. Das heißt, wenn $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ Quantensysteme sind, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ unitäre Matrizen sind, die Operationen auf diesen Systemen darstellen, und die Operationen unabhängig auf den Systemen durchgeführt werden, wird die kombinierte Wirkung auf $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ durch die Matrix $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0$ dargestellt. Wir finden wiederum, dass die probabilistischen und Quanteneinstellungen in dieser Hinsicht analog sind.

Man würde natürlich erwarten, aus dem Lesen des vorherigen Absatzes, dass das Tensorprodukt jeder Sammlung von unitären Matrizen unitär ist. Tatsächlich ist dies wahr, und wir können es wie folgt verifizieren.

Beachten Sie zunächst, dass die konjugiert-transponierte Operation erfüllt

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

für beliebig gewählte Matrizen $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Dies kann überprüft werden, indem man zur Definition des Tensorprodukts und der konjugiert-transponierten zurückgeht und überprüft, dass jeder Eintrag der beiden Seiten der Gleichung übereinstimmt. Das bedeutet, dass

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Da das Tensorprodukt von Matrizen multiplikativ ist, finden wir, dass

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Hier haben wir $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ geschrieben, um uns auf die Matrizen zu beziehen, die die Identitätsoperation auf den Systemen $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ darstellen, was bedeutet, dass dies Einheitsmatrizen sind, deren Größen mit der Anzahl der klassischen Zustände von $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ übereinstimmen.

Schließlich ist das Tensorprodukt $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ gleich der Einheitsmatrix, für die wir eine Anzahl von Zeilen und Spalten haben, die mit dem Produkt der Anzahl von Zeilen und Spalten der Matrizen $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0$ übereinstimmt. Diese größere Einheitsmatrix repräsentiert die Identitätsoperation auf dem gemeinsamen System $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Zusammenfassend haben wir die folgende Sequenz von Gleichheiten:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Wir schließen daher, dass $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ unitär ist.

Eine wichtige Situation, die oft auftritt, ist eine, in der eine unitäre Operation nur auf ein System – oder eine echte Teilmenge von Systemen – innerhalb eines größeren gemeinsamen Systems angewendet wird. Nehmen wir zum Beispiel an, dass $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Systeme sind, die wir zusammen als ein einzelnes, zusammengesetztes System $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ betrachten können, und wir führen eine Operation nur auf dem System $\mathsf{X}$ durch. Um präzise zu sein, nehmen wir an, dass $U$ eine unitäre Matrix ist, die eine Operation auf $\mathsf{X}$ darstellt, sodass ihre Zeilen und Spalten in Entsprechung mit den klassischen Zuständen von $\mathsf{X}$ gesetzt wurden.

Zu sagen, dass wir die durch $U$ dargestellte Operation nur auf dem System $\mathsf{X}$ durchführen, impliziert, dass wir nichts mit $\mathsf{Y}$ machen, was bedeutet, dass wir unabhängig $U$ auf $\mathsf{X}$ und die Identitätsoperation auf $\mathsf{Y}$ durchführen. Das heißt, "nichts mit $\mathsf{Y}$ machen" ist äquivalent dazu, die Identitätsoperation auf $\mathsf{Y}$ durchzuführen, die durch die Einheitsmatrix $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ dargestellt wird. (Hier sagt uns übrigens der Index $\mathsf{Y}$, dass sich $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ auf die Einheitsmatrix bezieht, die eine Anzahl von Zeilen und Spalten in Übereinstimmung mit der klassischen Zustandsmenge von $\mathsf{Y}$ hat.) Die Operation auf $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, die erhalten wird, wenn wir $U$ auf $\mathsf{X}$ durchführen und nichts mit $\mathsf{Y}$ machen, wird daher durch die unitäre Matrix dargestellt

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Zum Beispiel, wenn $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Qubits sind, ist die Durchführung einer Hadamard-Operation auf $\mathsf{X}$ und nichts mit $\mathsf{Y}$ zu tun äquivalent dazu, die Operation durchzuführen

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

auf dem gemeinsamen System $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

In ähnlicher Weise, wenn eine durch eine unitäre Matrix $U$ dargestellte Operation auf $\mathsf{Y}$ angewendet wird und nichts mit $\mathsf{X}$ gemacht wird, wird die resultierende Operation auf $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ durch die unitäre Matrix dargestellt

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Zum Beispiel, wenn wir wieder die Situation betrachten, in der sowohl $\mathsf{X}$ als auch $\mathsf{Y}$ Qubits sind und $U$ eine Hadamard-Operation ist, wird die resultierende Operation auf $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ durch die Matrix dargestellt

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Nicht jede unitäre Operation auf einer Sammlung von Systemen kann als Tensorprodukt von unitären Operationen wie diesem geschrieben werden, genau wie nicht jeder Quantenzustandsvektor dieser Systeme ein Produktzustand ist. Zum Beispiel können weder die Swap-Operation noch die Controlled-NOT-Operation auf zwei Qubits, die unten beschrieben werden, als Tensorprodukt von unitären Operationen ausgedrückt werden.

Die Swap-Operation

Um die Lektion abzuschließen, werfen wir einen Blick auf zwei Klassen von Beispielen für unitäre Operationen auf mehreren Systemen, beginnend mit der Swap-Operation.

Angenommen, $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ sind Systeme, die dieselbe klassische Zustandsmenge $\Sigma$ teilen. Die Swap-Operation auf dem Paar $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ist die Operation, die den Inhalt der beiden Systeme austauscht, aber die Systeme ansonsten in Ruhe lässt – sodass $\mathsf{X}$ links bleibt und $\mathsf{Y}$ rechts bleibt. Wir bezeichnen diese Operation als $\operatorname{SWAP},$ und sie funktioniert so für jede Wahl von klassischen Zuständen $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Eine Möglichkeit, die mit dieser Operation assoziierte Matrix unter Verwendung der Dirac-Notation zu schreiben, ist wie folgt:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Es mag nicht sofort klar sein, dass diese Matrix $\operatorname{SWAP}$ repräsentiert, aber wir können überprüfen, dass sie die Bedingung $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ für jede Wahl von klassischen Zuständen $a,b\in\Sigma$ erfüllt. Als einfaches Beispiel, wenn $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ Qubits sind, finden wir, dass

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Controlled-unitäre Operationen

Nehmen wir nun an, dass $\mathsf{Q}$ ein Qubit ist und $\mathsf{R}$ ein beliebiges System ist, das jede beliebige klassische Zustandsmenge hat, die wir wünschen. Für jede unitäre Operation $U$, die auf das System $\mathsf{R}$ wirkt, ist eine kontrollierte-$U$-Operation eine unitäre Operation auf dem Paar $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$, definiert wie folgt:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Zum Beispiel, wenn $\mathsf{R}$ auch ein Qubit ist und wir die Pauli-$X$-Operation auf $\mathrm{R}$ betrachten, dann wird eine kontrollierte-$X$-Operation gegeben durch

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Wir sind dieser Operation bereits im Kontext von klassischer Information und probabilistischen Operationen früher in der Lektion begegnet. Das Ersetzen der Pauli-$X$-Operation auf $\mathsf{R}$ durch eine $Z$-Operation ergibt diese Operation:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Wenn wir stattdessen $\mathsf{R}$ als zwei Qubits nehmen und $U$ als die Swap-Operation zwischen diesen zwei Qubits nehmen, erhalten wir diese Operation:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Diese Operation ist auch als Fredkin-Operation oder häufiger als Fredkin-Gate bekannt. Ihre Wirkung auf Standardbasiszustände kann wie folgt beschrieben werden:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Schließlich wird eine kontrolliert-kontrollierte-NOT-Operation, die wir als $CCX$ bezeichnen können, als Toffoli-Operation oder Toffoli-Gate bezeichnet. Ihre Matrixdarstellung sieht so aus:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Wir können sie alternativ unter Verwendung der Dirac-Notation wie folgt ausdrücken:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$