Superdichtes Kodieren

Superdichtes Kodieren ist ein Protokoll, das in gewissem Sinne ein komplementäres Ziel zur Teleportation verfolgt. Anstatt die Übertragung eines Qubits mithilfe von zwei klassischen Kommunikationsbits zu ermöglichen (zum Preis von einem e-Bit Verschränkung), erlaubt es die Übertragung von zwei klassischen Bits mithilfe eines einzigen Qubits an Quantenkommunikation (ebenfalls zum Preis von einem e-Bit Verschränkung).

Im Detail haben wir einen Sender (Alice) und einen Empfänger (Bob), die ein e-Bit Verschränkung teilen. Den Konventionen dieser Lektion entsprechend bedeutet das: Alice hält ein Qubit $\mathsf{A}$, Bob hält ein Qubit $\mathsf{B}$, und gemeinsam befindet sich das Paar $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ im Zustand $\vert\phi^+\rangle$. Alice möchte Bob zwei klassische Bits übermitteln, die wir mit $c$ und $d$ bezeichnen, und sie erreicht dies, indem sie ihm ein einziges Qubit schickt.

Man kann diese Leistung durchaus als weniger interessant ansehen als die der Teleportation. Das Senden von Qubits dürfte auf absehbare Zeit weitaus schwieriger sein als das Senden klassischer Bits, sodass der Tausch eines Qubits Quantenkommunikation gegen zwei klassische Bits – noch dazu zum Preis eines e-Bits – kaum lohnenswert erscheint. Das bedeutet jedoch nicht, dass superdichtes Kodieren uninteressant wäre – ganz im Gegenteil.

Im Sinne des Themas dieser Lektion ist superdichtes Kodieren aus einem Grund interessant: Es demonstriert eine konkrete und (im Kontext der Informationstheorie) geradezu verblüffende Nutzung von Verschränkung. Ein berühmtes Theorem der Quanteninformationstheorie, bekannt als Holevos Theorem, impliziert, dass es ohne einen geteilten verschränkten Zustand unmöglich ist, durch das Senden eines einzigen Qubits mehr als ein Bit klassischer Information zu übermitteln. (Holevos Theorem ist allgemeiner gefasst als hier dargestellt. Seine genaue Aussage ist technisch und erfordert Erklärung, aber dies ist eine seiner Konsequenzen.) Durch superdichtes Kodieren ermöglicht geteilte Verschränkung also effektiv eine Verdopplung der klassischen Informationskapazität beim Senden von Qubits.

Protokoll

Das folgende Quantenschaltkreisdiagramm beschreibt das Protokoll des superdichten Kodierens:

Was Alice tut, lässt sich wie folgt beschreiben:

1. Falls $d=1$, wendet Alice ein $Z$-Gate auf ihr Qubit $\mathsf{A}$ an (falls $d=0$, tut sie nichts).

2. Falls $c=1$, wendet Alice ein $X$-Gate auf ihr Qubit $\mathsf{A}$ an (falls $c=0$, tut sie nichts).

Alice schickt dann ihr Qubit $\mathsf{A}$ an Bob.

Was Bob tut, wenn er das Qubit $\mathsf{A}$ empfängt: Er wendet zunächst ein controlled-NOT-Gate an, wobei $\mathsf{A}$ das Kontroll-Qubit und $\mathsf{B}$ das Ziel-Qubit ist, und dann wendet er ein Hadamard-Gate auf $\mathsf{A}$ an. Anschließend misst er $\mathsf{B}$, um $c$ zu erhalten, und $\mathsf{A}$, um $d$ zu erhalten – in beiden Fällen mit Standard-Basismessungen.

Analyse

Die Idee hinter diesem Protokoll ist recht einfach: Alice wählt im Grunde aus, welchen Bell-Zustand sie mit Bob teilen möchte, sie schickt Bob ihr Qubit, und Bob misst, um festzustellen, welchen Bell-Zustand Alice gewählt hat.

Das heißt, sie teilen anfänglich $\vert\phi^+\rangle$, und je nach den Bits $c$ und $d$ lässt Alice diesen Zustand unverändert oder verschiebt ihn zu einem der anderen Bell-Zustände, indem sie $\mathbb{I}$, $X$, $Z$ oder $XZ$ auf ihr Qubit $\mathsf{A}$ anwendet.

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Bobs Aktionen haben folgende Auswirkungen auf die vier Bell-Zustände:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Dies lässt sich direkt überprüfen, indem man die Ergebnisse von Bobs Operationen auf diese Zustände der Reihe nach berechnet.

Wenn Bob also seine Messungen durchführt, kann er bestimmen, welchen Bell-Zustand Alice gewählt hat. Um zu überprüfen, dass das Protokoll korrekt funktioniert, muss man jeden Fall durchgehen:

• Falls $cd = 00$, ist der Zustand von $(\mathsf{B},\mathsf{A})$, wenn Bob $\mathsf{A}$ erhält, $\vert \phi^+\rangle$. Er überführt diesen Zustand in $\vert 00\rangle$ und erhält $cd = 00$.

• Falls $cd = 01$, ist der Zustand von $(\mathsf{B},\mathsf{A})$, wenn Bob $\mathsf{A}$ erhält, $\vert \phi^-\rangle$. Er überführt diesen Zustand in $\vert 01\rangle$ und erhält $cd = 01$.

• Falls $cd = 10$, ist der Zustand von $(\mathsf{B},\mathsf{A})$, wenn Bob $\mathsf{A}$ erhält, $\vert \psi^+\rangle$. Er transformiert diesen Zustand zu $\vert 10\rangle$ und erhält $cd = 10$.

• Falls $cd = 11$, ist der Zustand von $(\mathsf{B},\mathsf{A})$, wenn Bob $\mathsf{A}$ erhält, $\vert \psi^-\rangle$. Er transformiert diesen Zustand zu $-\vert 11\rangle$ und erhält $cd = 11$. (Der Phasenfaktor $-1$ hat hier keinen Einfluss.)