Quanteninformation

Jetzt sind wir bereit, zur Quanteninformation überzugehen, bei der wir eine andere Wahl für den Typ des Vektors treffen, der einen Zustand – in diesem Fall einen Quantenzustand – des betrachteten Systems repräsentiert. Wie in der vorherigen Diskussion über klassische Information werden wir uns mit Systemen befassen, die endliche und nicht-leere Mengen klassischer Zustände haben, und wir werden einen Großteil der gleichen Notation verwenden.

Quantenzustandsvektoren

Ein Quantenzustand eines Systems wird durch einen Spaltenvektor dargestellt, ähnlich wie ein probabilistischer Zustand. Wie zuvor beschriften die Indizes des Vektors die klassischen Zustände des Systems. Vektoren, die Quantenzustände darstellen, sind durch diese beiden Eigenschaften gekennzeichnet:

1. Die Einträge eines Quantenzustandsvektors sind komplexe Zahlen.
2. Die Summe der Betragsquadrate der Einträge eines Quantenzustandsvektors ist $1.$

Im Gegensatz zu probabilistischen Zuständen müssen Vektoren, die Quantenzustände darstellen, also nicht notwendigerweise nicht-negative reelle Zahleneinträge haben, und es ist die Summe der Betragsquadrate der Einträge (im Gegensatz zur Summe der Einträge), die gleich $1$ sein muss. So einfach diese Änderungen sind, sie führen zu den Unterschieden zwischen Quanten- und klassischer Information; jede Beschleunigung durch einen Quantencomputer oder Verbesserung durch ein Quantenkommunikationsprotokoll wird letztlich aus diesen einfachen mathematischen Änderungen abgeleitet.

Die euklidische Norm eines Spaltenvektors

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

wird wie folgt bezeichnet und definiert:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

Die Bedingung, dass die Summe der Betragsquadrate eines Quantenzustandsvektors gleich $1$ ist, ist daher äquivalent dazu, dass dieser Vektor eine euklidische Norm gleich $1$ hat. Das heißt, Quantenzustandsvektoren sind Einheitsvektoren bezüglich der euklidischen Norm.

Beispiele für Qubit-Zustände

Der Begriff Qubit bezieht sich auf ein Quantensystem, dessen klassische Zustandsmenge $\{0,1\}$ ist. Das heißt, ein Qubit ist eigentlich nur ein Bit – aber durch die Verwendung dieses Namens erkennen wir explizit an, dass dieses Bit in einem Quantenzustand sein kann.

Dies sind Beispiele für Quantenzustände eines Qubits:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{und}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

und

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Die ersten beiden Beispiele, $\vert 0\rangle$ und $\vert 1\rangle,$ veranschaulichen, dass Standardbasiselemente gültige Quantenzustandsvektoren sind: ihre Einträge sind komplexe Zahlen, wobei der Imaginärteil dieser Zahlen zufällig alle $0$ ist, und die Berechnung der Summe der Betragsquadrate der Einträge ergibt

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{und}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

wie erforderlich. Ähnlich wie im klassischen Fall assoziieren wir die Quantenzustandsvektoren $\vert 0\rangle$ und $\vert 1\rangle$ mit einem Qubit, das sich im klassischen Zustand $0$ bzw. $1$ befindet.

Für die anderen beiden Beispiele haben wir wiederum komplexe Zahleneinträge, und die Berechnung der Summe der Betragsquadrate der Einträge ergibt

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

und

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Dies sind daher gültige Quantenzustandsvektoren. Beachte, dass sie Linearkombinationen der Standardbasiszustände $\vert 0 \rangle$ und $\vert 1 \rangle$ sind, und aus diesem Grund sagen wir oft, dass sie Überlagerungen der Zustände $0$ und $1$ sind. Im Kontext von Quantenzuständen sind Überlagerung und Linearkombination im Wesentlichen synonym.

Das Beispiel $(1)$ eines Qubit-Zustandsvektors oben wird sehr häufig angetroffen – es wird als Plus-Zustand bezeichnet und wie folgt notiert:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Wir verwenden auch die Notation

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

um uns auf einen verwandten Quantenzustandsvektor zu beziehen, bei dem der zweite Eintrag negativ statt positiv ist, und wir nennen diesen Zustand den Minus-Zustand.

Diese Art der Notation, bei der ein anderes Symbol als eines, das sich auf einen klassischen Zustand bezieht, innerhalb eines Kets erscheint, ist üblich – wir können jeden Namen verwenden, den wir wünschen, innerhalb eines Kets, um einen Vektor zu benennen. Es ist sehr üblich, die Notation $\vert\psi\rangle,$ oder einen anderen Namen anstelle von $\psi,$ zu verwenden, um sich auf einen beliebigen Vektor zu beziehen, der nicht notwendigerweise ein Standardbasisvektor ist.

Beachte, dass, wenn wir einen Vektor $\vert \psi \rangle$ haben, dessen Indizes einer klassischen Zustandsmenge $\Sigma$ entsprechen, und wenn $a\in\Sigma$ ein Element dieser klassischen Zustandsmenge ist, dann ist das Matrixprodukt $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ gleich dem Eintrag des Vektors $\vert \psi \rangle,$ dessen Index $a$ entspricht. Wie wir es taten, als $\vert \psi \rangle$ ein Standardbasisvektor war, schreiben wir $\langle a \vert \psi \rangle$ anstatt $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ um der Lesbarkeit willen.

Zum Beispiel, wenn $\Sigma = \{0,1\}$ und

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

dann

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{und}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

Allgemein bezieht sich bei Verwendung der Dirac-Notation für beliebige Vektoren die Notation $\langle \psi \vert$ auf den Zeilenvektor, der durch Nehmen der konjugiert-transponierten des Spaltenvektors $\vert\psi\rangle$ erhalten wird, wobei der Vektor von einem Spaltenvektor zu einem Zeilenvektor transponiert wird und jeder Eintrag durch sein komplex Konjugiertes ersetzt wird. Zum Beispiel, wenn $\vert\psi\rangle$ der in $(2)$ definierte Vektor ist, dann

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Der Grund, warum wir das komplex Konjugierte zusätzlich zur Transposition nehmen, wird später deutlicher werden, wenn wir Skalarprodukte diskutieren.

Quantenzustände anderer Systeme

Wir können Quantenzustände von Systemen mit beliebigen klassischen Zustandsmengen betrachten. Zum Beispiel ist hier ein Quantenzustandsvektor für einen elektrischen Lüfterschalter:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

Die hier geltende Annahme ist, dass die klassischen Zustände als high, medium, low, off geordnet sind. Es mag keinen besonderen Grund geben, warum man einen Quantenzustand eines elektrischen Lüfterschalters betrachten möchte, aber es ist prinzipiell möglich.

Hier ist ein weiteres Beispiel, diesmal einer quantenmäßigen Dezimalziffer, deren klassische Zustände $0, 1, \ldots, 9$ sind:

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Dieses Beispiel veranschaulicht die Bequemlichkeit, Zustandsvektoren unter Verwendung der Dirac-Notation zu schreiben. Für dieses spezielle Beispiel ist die Spaltenvektordarstellung lediglich umständlich – aber wenn es wesentlich mehr klassische Zustände gäbe, würde sie unbrauchbar werden. Die Dirac-Notation unterstützt im Gegensatz dazu präzise Beschreibungen großer und komplizierter Vektoren in kompakter Form.

Die Dirac-Notation erlaubt auch den Ausdruck von Vektoren, bei denen verschiedene Aspekte der Vektoren unbestimmt sind, was bedeutet, dass sie unbekannt oder noch nicht festgelegt sind. Zum Beispiel können wir für eine beliebige klassische Zustandsmenge $\Sigma$ den Quantenzustandsvektor betrachten

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

wobei die Notation $\sqrt{|\Sigma|}$ sich auf die euklidische Norm von $\Sigma$ bezieht, und $\vert\Sigma\vert$ in diesem Fall einfach die Anzahl der Elemente in $\Sigma$ ist. In Worten ist dies eine gleichmäßige Überlagerung über die klassischen Zustände in $\Sigma.$

Wir werden in späteren Lektionen viel kompliziertere Ausdrücke von Quantenzustandsvektoren begegnen, bei denen die Verwendung von Spaltenvektoren unpraktisch oder unmöglich wäre. Tatsächlich werden wir die Spaltenvektordarstellung von Zustandsvektoren größtenteils aufgeben, außer für Vektoren mit einer kleinen Anzahl von Einträgen (oft im Kontext von Beispielen), wo es hilfreich sein kann, die Einträge explizit anzuzeigen und zu untersuchen.

Hier ist noch ein Grund, warum das Ausdrücken von Zustandsvektoren unter Verwendung der Dirac-Notation bequem ist: es entbindet von der Notwendigkeit, explizit eine Ordnung der klassischen Zustände anzugeben (oder äquivalent die Entsprechung zwischen klassischen Zuständen und Vektorindizes).

Zum Beispiel ist ein Quantenzustandsvektor für ein System mit klassischer Zustandsmenge $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ wie

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

durch diesen Ausdruck eindeutig beschrieben, und es besteht wirklich keine Notwendigkeit, eine Ordnung dieser klassischen Zustandsmenge zu wählen oder anzugeben, um den Ausdruck zu verstehen. In diesem Fall ist es nicht schwierig, eine Ordnung der Standard-Kartenfarben anzugeben – zum Beispiel könnten wir sie so ordnen: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Wenn wir diese spezielle Ordnung wählen, würde der obige Quantenzustandsvektor durch den Spaltenvektor dargestellt werden

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

Im Allgemeinen ist es jedoch bequem, die Frage, wie klassische Zustandsmengen geordnet sind, einfach ignorieren zu können.

Messung von Quantenzuständen

Als Nächstes betrachten wir, was passiert, wenn ein Quantenzustand gemessen wird, wobei wir uns auf eine einfache Art der Messung konzentrieren, die als Standardbasismessung bekannt ist. (Es gibt allgemeinere Messungskonzepte, die wir später diskutieren werden.)

Ähnlich wie im probabilistischen Fall wird ein hypothetischer Beobachter, der die Messung durchführt, wenn ein System in einem Quantenzustand gemessen wird, keinen Quantenzustandsvektor sehen, sondern vielmehr einen klassischen Zustand. In diesem Sinne fungieren Messungen als Schnittstelle zwischen Quanten- und klassischer Information, durch die klassische Information aus Quantenzuständen extrahiert wird.

Die Regel ist einfach: Wenn ein Quantenzustand gemessen wird, erscheint jeder klassische Zustand des Systems mit einer Wahrscheinlichkeit gleich dem Betragsquadrat des Eintrags im Quantenzustandsvektor, der diesem klassischen Zustand entspricht. Dies wird als Born-Regel in der Quantenmechanik bezeichnet. Beachte, dass diese Regel konsistent mit der Anforderung ist, dass die Betragsquadrate der Einträge in einem Quantenzustandsvektor sich zu $1$ summieren, da sie impliziert, dass die Wahrscheinlichkeiten verschiedener klassischer Zustandsmessergebnisse sich zu $1$ summieren.

Zum Beispiel führt die Messung des Plus-Zustands

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

zu den zwei möglichen Ergebnissen, $0$ und $1,$ mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten.

$$\operatorname{Pr}(\text{Ergebnis ist 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{Ergebnis ist 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Interessanterweise führt die Messung des Minus-Zustands

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

zu genau denselben Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ergebnisse.

$$\operatorname{Pr}(\text{Ergebnis ist 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{Ergebnis ist 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Dies deutet darauf hin, dass die Plus- und Minus-Zustände, was Standardbasismessungen betrifft, nicht unterschiedlich sind. Warum würden wir dann eine Unterscheidung zwischen ihnen treffen wollen? Die Antwort ist, dass sich diese beiden Zustände unterschiedlich verhalten, wenn Operationen auf sie ausgeführt werden, wie wir im nächsten Unterabschnitt unten diskutieren werden.

Natürlich führt die Messung des Quantenzustands $\vert 0\rangle$ mit Sicherheit zum klassischen Zustand $0$, und ebenso führt die Messung des Quantenzustands $\vert 1\rangle$ mit Sicherheit zum klassischen Zustand $1$. Dies ist konsistent mit der Identifikation dieser Quantenzustände damit, dass sich das System im entsprechenden klassischen Zustand befindet, wie zuvor vorgeschlagen.

Als letztes Beispiel verursacht die Messung des Zustands

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

dass die zwei möglichen Ergebnisse mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten erscheinen:

$$\operatorname{Pr}(\text{Ergebnis ist 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

und

$$\operatorname{Pr}(\text{Ergebnis ist 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Unitäre Operationen

Bisher mag es nicht offensichtlich sein, warum Quanteninformation sich grundlegend von klassischer Information unterscheidet. Das heißt, wenn ein Quantenzustand gemessen wird, wird die Wahrscheinlichkeit, jeden klassischen Zustand zu erhalten, durch das Betragsquadrat des entsprechenden Vektoreintrags gegeben – warum also nicht einfach diese Wahrscheinlichkeiten in einem Wahrscheinlichkeitsvektor aufzeichnen?

Die Antwort ist zumindest teilweise, dass die Menge der zulässigen Operationen, die auf einen Quantenzustand ausgeführt werden können, anders ist als bei klassischer Information. Ähnlich wie im probabilistischen Fall sind Operationen auf Quantenzuständen lineare Abbildungen – aber anstatt durch stochastische Matrizen repräsentiert zu werden, wie im klassischen Fall, werden Operationen auf Quantenzustandsvektoren durch unitäre Matrizen repräsentiert.

Eine quadratische Matrix $U$ mit komplexen Zahleneinträgen ist unitär, wenn sie die Gleichungen erfüllt

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Hier ist $\mathbb{I}$ die Einheitsmatrix, und $U^{\dagger}$ ist die konjugiert-transponierte von $U,$ d.h. die Matrix, die durch Transponieren von $U$ und Nehmen des komplex Konjugierten jedes Eintrags erhalten wird.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Wenn eine der beiden nummerierten Gleichungen $(3)$ oben wahr ist, muss auch die andere wahr sein. Beide Gleichungen sind äquivalent dazu, dass $U^{\dagger}$ die Inverse von $U$ ist:

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Warnung: Wenn $M$ keine quadratische Matrix ist, dann könnte es sein, dass $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ und $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ zum Beispiel. Die Äquivalenz der zwei Gleichungen in der ersten Gleichung oben gilt nur für quadratische Matrizen.)

Die Bedingung, dass $U$ unitär ist, ist äquivalent zur Bedingung, dass die Multiplikation mit $U$ die euklidische Norm eines beliebigen Vektors nicht ändert. Das heißt, eine $n\times n$ Matrix $U$ ist unitär genau dann, wenn $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ für jeden $n$-dimensionalen Spaltenvektor $\vert \psi \rangle$ mit komplexen Zahleneinträgen. Da die Menge aller Quantenzustandsvektoren dieselbe ist wie die Menge der Vektoren mit euklidischer Norm gleich $1,$ resultiert die Multiplikation einer unitären Matrix mit einem Quantenzustandsvektor in einem anderen Quantenzustandsvektor.

Tatsächlich sind unitäre Matrizen genau die Menge der linearen Abbildungen, die Quantenzustandsvektoren immer in andere Quantenzustandsvektoren transformieren. Beachte hier eine Ähnlichkeit zum klassischen probabilistischen Fall, wo Operationen mit stochastischen Matrizen assoziiert sind, die diejenigen sind, die Wahrscheinlichkeitsvektoren immer in Wahrscheinlichkeitsvektoren transformieren.

Beispiele für unitäre Operationen auf Qubits

Die folgende Liste beschreibt einige häufig anzutreffende unitäre Operationen auf Qubits.

1. Pauli-Operationen. Die vier Pauli-Matrizen sind wie folgt:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Eine übliche alternative Notation ist $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ und $Z = \sigma_z$ (aber sei dir bewusst, dass die Buchstaben $X,$ $Y,$ und $Z$ auch häufig für andere Zwecke verwendet werden). Die $X$-Operation wird auch als Bit-Flip oder NOT-Operation bezeichnet, weil sie diese Wirkung auf Bits induziert:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{und} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   Die $Z$-Operation wird auch als Phasen-Flip bezeichnet, und sie hat diese Wirkung:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{und} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Hadamard-Operation. Die Hadamard-Operation wird durch diese Matrix beschrieben:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Phasenoperationen. Eine Phasenoperation ist eine, die durch die Matrix beschrieben wird

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   für jede Wahl einer reellen Zahl $\theta.$ Die Operationen

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   sind besonders wichtige Beispiele. Andere Beispiele umfassen $\mathbb{I} = P_0$ und $Z = P_{\pi}.$

Alle gerade definierten Matrizen sind unitär und repräsentieren daher Quantenoperationen auf einem einzelnen Qubit. Zum Beispiel ist hier eine Berechnung, die verifiziert, dass $H$ unitär ist:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Und hier ist die Wirkung der Hadamard-Operation auf einige häufig anzutreffende Qubit-Zustandsvektoren.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Prägnanter erhalten wir diese vier Gleichungen.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Es lohnt sich, innezuhalten und die Tatsache zu bedenken, dass $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ und $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ im Licht der im vorherigen Abschnitt angesprochenen Frage bezüglich der Unterscheidung zwischen den Zuständen $\vert {+} \rangle$ und $\vert {-} \rangle.$

Stell dir eine Situation vor, in der ein Qubit in einem der beiden Quantenzustände $\vert {+} \rangle$ und $\vert {-} \rangle$ präpariert wird, aber wo es uns nicht bekannt ist, welcher es ist. Die Messung eines der beiden Zustände erzeugt dieselbe Ausgabeverteilung wie die des anderen, wie wir bereits beobachtet haben: $0$ und $1$ erscheinen beide mit gleicher Wahrscheinlichkeit $1/2,$ was keinerlei Information darüber liefert, welcher der beiden Zustände präpariert wurde.

Wenn wir jedoch zuerst eine Hadamard-Operation anwenden und dann messen, erhalten wir mit Sicherheit das Ergebnis $0$, wenn der ursprüngliche Zustand $\vert {+} \rangle$ war, und wir erhalten das Ergebnis $1,$ wiederum mit Sicherheit, wenn der ursprüngliche Zustand $\vert {-} \rangle$ war. Die Quantenzustände $\vert {+} \rangle$ und $\vert {-} \rangle$ können daher perfekt unterschieden werden. Dies zeigt, dass Vorzeichenänderungen oder allgemeiner Änderungen der Phasen (die traditionell auch Argumente genannt werden) der komplexen Zahleneinträge eines Quantenzustandsvektors diesen Zustand erheblich ändern können.

Hier ist ein weiteres Beispiel, das zeigt, wie eine Hadamard-Operation auf einen zuvor erwähnten Zustandsvektor wirkt.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Als Nächstes betrachten wir die Wirkung einer $T$-Operation auf einen Plus-Zustand.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Beachte hier, dass wir uns nicht die Mühe gemacht haben, zu den äquivalenten Matrix-/Vektorformen zu konvertieren, sondern stattdessen die Linearität der Matrixmultiplikation zusammen mit den Formeln verwendet haben

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{und}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

In ähnlicher Weise können wir das Ergebnis der Anwendung einer Hadamard-Operation auf den gerade erhaltenen Quantenzustandsvektor berechnen:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Die beiden Ansätze – einer, bei dem wir explizit zu Matrixdarstellungen konvertieren, und der andere, bei dem wir Linearität verwenden und die Wirkungen einer Operation auf Standardbasiszustände einsetzen – sind äquivalent. Wir können denjenigen verwenden, der im vorliegenden Fall bequemer ist.

Kompositionen von Qubit-unitären Operationen

Kompositionen von unitären Operationen werden durch Matrixmultiplikation dargestellt, genau wie wir es im probabilistischen Fall hatten.

Angenommen, wir wenden zunächst eine Hadamard-Operation an, gefolgt von einer $S$-Operation, gefolgt von einer weiteren Hadamard-Operation. Die resultierende Operation, die wir für dieses Beispiel $R$ nennen, ist wie folgt:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Diese unitäre Operation $R$ ist ein interessantes Beispiel. Durch zweimaliges Anwenden dieser Operation, was äquivalent zum Quadrieren ihrer Matrixdarstellung ist, erhalten wir eine NOT-Operation:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Das heißt, $R$ ist eine Quadratwurzel der NOT-Operation. Ein solches Verhalten, bei dem dieselbe Operation zweimal angewendet wird, um eine NOT-Operation zu ergeben, ist für eine klassische Operation auf einem einzelnen Bit nicht möglich.

Unitäre Operationen auf größeren Systemen

In nachfolgenden Lektionen werden wir viele Beispiele von unitären Operationen auf Systemen mit mehr als zwei klassischen Zuständen sehen. Ein Beispiel für eine unitäre Operation auf einem System mit drei klassischen Zuständen wird durch die folgende Matrix gegeben.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Unter der Annahme, dass die klassischen Zustände des Systems $0,$ $1,$ und $2$ sind, können wir diese Operation als Addition modulo $3$ beschreiben.

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{und}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

Die Matrix $A$ ist ein Beispiel für eine Permutationsmatrix, eine Matrix, bei der jede Zeile und Spalte genau eine $1$ hat. Solche Matrizen ordnen lediglich die Einträge der Vektoren, auf die sie wirken, neu an oder permutieren sie. Die Einheitsmatrix ist vielleicht das einfachste Beispiel einer Permutationsmatrix, und ein weiteres Beispiel ist die NOT-Operation auf einem Bit oder Qubit. Jede Permutationsmatrix in jeder positiven ganzzahligen Dimension ist unitär. Dies sind die einzigen Beispiele für Matrizen, die sowohl klassische als auch Quantenoperationen darstellen: Eine Matrix ist sowohl stochastisch als auch unitär genau dann, wenn sie eine Permutationsmatrix ist.

Ein weiteres Beispiel für eine unitäre Matrix, diesmal eine $4\times 4$ Matrix, ist diese:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Diese Matrix beschreibt eine Operation, die als Quanten-Fourier-Transformation bekannt ist, speziell im $4\times 4$ Fall. Die Quanten-Fourier-Transformation kann allgemeiner für jede positive ganze Zahl Dimension $n$ definiert werden und spielt eine Schlüsselrolle in Quantenalgorithmen.