Innere Produkte und Projektionen

Um uns besser auf die Erkundung der Möglichkeiten und Grenzen von Quantenschaltkreisen vorzubereiten, führen wir nun einige zusätzliche mathematische Konzepte ein – nämlich das innere Produkt zwischen Vektoren (und seine Verbindung zur euklidischen Norm), die Begriffe Orthogonalität und Orthonormalität für Mengen von Vektoren sowie Projektionsmatrizen, die es uns ermöglichen, eine praktische Verallgemeinerung von Standardbasismessungen einzuführen.

Innere Produkte

Zur Erinnerung: Wenn wir in der Dirac-Notation einen beliebigen Spaltenvektor als Ket bezeichnen, etwa

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

dann ist der entsprechende Bra-Vektor die konjugiert-transponierte Version dieses Vektors:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Wenn wir alternativ eine klassische Zustandsmenge $\Sigma$ vor Augen haben und einen Spaltenvektor als Ket schreiben, also

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

dann ist der entsprechende Zeilen- (oder Bra-)Vektor die konjugiert-transponierte Version

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

Außerdem ergibt das Produkt eines Bra-Vektors und eines Ket-Vektors, aufgefasst als Matrizen mit einer einzelnen Zeile bzw. Spalte, einen Skalar. Wenn wir speziell zwei Spaltenvektoren haben,

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

sodass der Zeilenvektor $\langle \psi \vert$ wie in Gleichung $(1)$ ist, gilt:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

Haben wir alternativ zwei Spaltenvektoren, die wir geschrieben haben als

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{und}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

sodass $\langle \psi \vert$ der Zeilenvektor $(2)$ ist, ergibt sich:

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

wobei die letzte Gleichheit daraus folgt, dass $\langle a \vert a \rangle = 1$ und $\langle a \vert b \rangle = 0$ für klassische Zustände $a$ und $b$ mit $a\neq b.$

Der Wert $\langle \psi \vert \phi \rangle$ heißt das innere Produkt der Vektoren $\vert \psi\rangle$ und $\vert \phi \rangle.$ Innere Produkte sind in der Quanteninformation und -berechnung von grundlegender Bedeutung; ohne sie würde man bei einem mathematischen Verständnis der Quanteninformation nicht weit kommen.

Fassen wir nun einige grundlegende Eigenschaften innerer Produkte von Vektoren zusammen.

1. Zusammenhang mit der euklidischen Norm. Das innere Produkt eines beliebigen Vektors

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   mit sich selbst ist

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   Die euklidische Norm eines Vektors lässt sich damit alternativ schreiben als

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   Man beachte, dass die euklidische Norm eines Vektors stets eine nichtnegative reelle Zahl ist. Außerdem kann die euklidische Norm eines Vektors nur dann gleich null sein, wenn jeder seiner Einträge gleich null ist, d.h. wenn der Vektor der Nullvektor ist.

   Diese Beobachtungen lassen sich so zusammenfassen: Für jeden Vektor $\vert \psi \rangle$ gilt

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   wobei $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ genau dann gilt, wenn $\vert \psi \rangle = 0.$ Diese Eigenschaft des inneren Produkts wird manchmal als positive Definitheit bezeichnet.

2. Konjugierte Symmetrie. Für beliebige zwei Vektoren

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{und}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   gilt

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{und}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   und daher

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. Linearität im zweiten Argument (und konjugierte Linearität im ersten). Seien $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle$ und $\vert \phi_2 \rangle$ Vektoren und $\alpha_1$ und $\alpha_2$ komplexe Zahlen. Wenn wir einen neuen Vektor definieren als

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   dann gilt

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   Das innere Produkt ist also linear im zweiten Argument. Dies lässt sich entweder durch die obigen Formeln nachweisen oder einfach damit begründen, dass die Matrizenmultiplikation in jedem Argument linear ist (und speziell im zweiten).

   In Kombination mit der konjugierten Symmetrie ergibt sich, dass das innere Produkt konjugiert linear im ersten Argument ist. Das heißt: Wenn $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle$ und $\vert \phi \rangle$ Vektoren sind und $\alpha_1$ und $\alpha_2$ komplexe Zahlen, und wir definieren

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   dann gilt

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Für beliebige Vektoren $\vert \phi \rangle$ und $\vert \psi \rangle$ mit gleicher Anzahl von Einträgen gilt:

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   Das ist eine außerordentlich nützliche Ungleichung, die in der Quanteninformation (und in vielen anderen Gebieten) sehr häufig eingesetzt wird.

Orthogonale und orthonormale Mengen

Zwei Vektoren $\vert \phi \rangle$ und $\vert \psi \rangle$ heißen orthogonal, wenn ihr inneres Produkt null ist:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

Geometrisch kann man sich orthogonale Vektoren als Vektoren vorstellen, die senkrecht aufeinander stehen.

Eine Menge von Vektoren $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ heißt orthogonale Menge, wenn jeder Vektor in der Menge orthogonal zu jedem anderen Vektor der Menge ist. Das heißt, die Menge ist orthogonal, wenn

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

für alle $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ mit $j\neq k$ gilt.

Eine Menge von Vektoren $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ heißt orthonormale Menge, wenn sie eine orthogonale Menge ist und darüber hinaus jeder Vektor in der Menge ein Einheitsvektor ist. Äquivalent dazu ist die Menge orthonormal, wenn

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

für alle $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ gilt.

Schließlich ist eine Menge $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ eine orthonormale Basis, wenn sie zusätzlich zur Eigenschaft einer orthonormalen Menge auch eine Basis bildet. Das ist äquivalent dazu, dass $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ eine orthonormale Menge ist und $m$ gleich der Dimension des Raums ist, aus dem $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ stammen.

Zum Beispiel ist für jede klassische Zustandsmenge $\Sigma$ die Menge aller Standardbasisvektoren

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

eine orthonormale Basis. Die Menge $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ ist eine orthonormale Basis für den $2$-dimensionalen Raum, der einem einzelnen Qubit entspricht, und die Bell-Basis $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ ist eine orthonormale Basis für den $4$-dimensionalen Raum zweier Qubits.

Erweiterung orthonormaler Mengen zu orthonormalen Basen

Angenommen, $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ sind Vektoren in einem $n$-dimensionalen Raum, und $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ sei eine orthonormale Menge. Orthonormale Mengen sind stets linear unabhängig, daher spannen diese Vektoren notwendigerweise einen Unterraum der Dimension $m$ auf. Daraus folgt, dass $m\leq n$ gilt, da die Dimension des von diesen Vektoren aufgespannten Unterraums nicht größer sein kann als die Dimension des gesamten Raums, aus dem sie stammen.

Wenn $m<n$ gilt, ist es stets möglich, weitere $n-m$ Vektoren $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ so zu wählen, dass $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ eine orthonormale Basis bildet. Zur Konstruktion dieser Vektoren kann das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren verwendet werden.

Orthonormale Mengen und unitäre Matrizen

Orthonormale Mengen von Vektoren sind eng mit unitären Matrizen verbunden. Eine Möglichkeit, diese Verbindung auszudrücken, ist zu sagen, dass die folgenden drei Aussagen logisch äquivalent sind (d.h. alle wahr oder alle falsch) für eine beliebige quadratische Matrix $U$:

1. Die Matrix $U$ ist unitär (d.h. $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).
2. Die Zeilen von $U$ bilden eine orthonormale Menge.
3. Die Spalten von $U$ bilden eine orthonormale Menge.

Diese Äquivalenz ergibt sich recht unmittelbar, wenn man sich überlegt, wie Matrizenmultiplikation und konjugierte Transponierung funktionieren. Angenommen, wir haben eine $3\times 3$-Matrix wie diese:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

Die konjugiert-transponierte Matrix von $U$ sieht so aus:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

Das Produkt der beiden Matrizen, mit der konjugiert-transponierten auf der linken Seite, ergibt:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Wenn wir aus den Spalten von $U$ drei Vektoren bilden,

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

dann lässt sich das obige Produkt alternativ so ausdrücken:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

Mit Blick auf Gleichung $(3)$ erkennen wir nun, dass die Bedingung, dass diese Matrix gleich der Einheitsmatrix ist, äquivalent zur Orthonormalität der Menge $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$ ist.

Dieses Argument lässt sich auf unitäre Matrizen beliebiger Größe verallgemeinern. Dass die Zeilen einer Matrix genau dann eine orthonormale Basis bilden, wenn die Matrix unitär ist, folgt daraus, dass eine Matrix genau dann unitär ist, wenn ihre Transponierte unitär ist.

Aus der beschriebenen Äquivalenz und der Tatsache, dass jede orthonormale Menge zu einer orthonormalen Basis ergänzt werden kann, ergibt sich die folgende nützliche Tatsache: Für jede orthonormale Menge von Vektoren $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ aus einem $n$-dimensionalen Raum gibt es eine unitäre Matrix $U$, deren erste $m$ Spalten die Vektoren $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ sind. Bildlich gesprochen lässt sich stets eine unitäre Matrix dieser Form finden:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

Dabei werden die letzten $n-m$ Spalten mit beliebigen Vektoren $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ gefüllt, die $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ zu einer orthonormalen Basis machen.

Projektionen und projektive Messungen

Projektionsmatrizen

Eine quadratische Matrix $\Pi$ heißt Projektion, wenn sie zwei Eigenschaften erfüllt:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}.$
2. $\Pi^2 = \Pi.$

Matrizen, die die erste Bedingung erfüllen – d.h. gleich ihrer eigenen konjugiert-transponierten Matrix sind – werden hermitesche Matrizen genannt; Matrizen, die die zweite Bedingung erfüllen – d.h. beim Quadrieren unverändert bleiben – heißen idempotente Matrizen.

Zur Klarstellung: Das Wort Projektion wird manchmal verwendet, um jede Matrix zu bezeichnen, die nur die zweite Bedingung erfüllt, aber nicht notwendigerweise die erste. In diesem Fall wird der Begriff orthogonale Projektion typischerweise für Matrizen verwendet, die beide Eigenschaften erfüllen. Im Kontext der Quanteninformation und -berechnung beziehen sich die Begriffe Projektion und Projektionsmatrix jedoch in der Regel auf Matrizen, die beide Bedingungen erfüllen.

Ein Beispiel einer Projektion ist die Matrix

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

für jeden Einheitsvektor $\vert \psi\rangle.$ Dass diese Matrix hermitesch ist, sieht man wie folgt:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

Um die zweite Gleichheit zu erhalten, haben wir die Formel

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger}$$

verwendet, die stets gilt, für beliebige Matrizen $A$ und $B$, für die das Produkt $AB$ definiert ist.

Um zu sehen, dass die Matrix $\Pi$ in $(4)$ idempotent ist, nutzen wir die Voraussetzung, dass $\vert\psi\rangle$ ein Einheitsvektor ist, also $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$ erfüllt. Damit gilt:

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

Allgemeiner gilt: Wenn $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ eine beliebige orthonormale Menge von Vektoren ist, dann ist die Matrix

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

eine Projektion. Konkret gilt:

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

wobei die Orthonormalität von $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ die vorletzte Gleichheit impliziert.

Tatsächlich sind damit alle Möglichkeiten erschöpft: Jede Projektion $\Pi$ lässt sich in der Form $(5)$ für eine geeignete orthonormale Menge $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ schreiben. (Technisch gesehen ist die Nullmatrix $\Pi=0$, die eine Projektion ist, ein Sonderfall. Um sie in die allgemeine Form $(5)$ einzupassen, muss man die Möglichkeit einer leeren Summe zulassen, die die Nullmatrix ergibt.)

Projektive Messungen

Der Begriff einer Messung eines Quantensystems ist allgemeiner als nur Standardbasismessungen. Projektive Messungen sind Messungen, die durch eine Sammlung von Projektionen beschrieben werden, deren Summe gleich der Einheitsmatrix ist. In Formeln: Eine Sammlung $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ von Projektionsmatrizen beschreibt eine projektive Messung, wenn

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

Wenn eine solche Messung an einem System $\mathsf{X}$ durchgeführt wird, während es sich im Zustand $\vert\psi\rangle$ befindet, passieren zwei Dinge:

1. Für jedes $k\in\{0,\ldots,m-1\}$ ist das Ergebnis der Messung $k$ mit Wahrscheinlichkeit

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{Ergebnis ist $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Je nachdem, welches Ergebnis $k$ die Messung liefert, wird der Zustand von $\mathsf{X}$ zu

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Für projektive Messungen können auch andere Ergebnisse als $\{0,\ldots,m-1\}$ gewählt werden. Allgemeiner: Für jede endliche und nichtleere Menge $\Sigma$ gilt: Wenn wir eine Sammlung von Projektionsmatrizen haben,

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

die die Bedingung

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I}$$

erfüllt, dann beschreibt diese Sammlung eine projektive Messung, deren mögliche Ergebnisse mit der Menge $\Sigma$ übereinstimmen, wobei dieselben Regeln gelten wie zuvor:

1. Für jedes $a\in\Sigma$ ist das Ergebnis der Messung $a$ mit Wahrscheinlichkeit

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{Ergebnis ist $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Je nachdem, welches Ergebnis $a$ die Messung liefert, wird der Zustand von $\mathsf{X}$ zu

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Zum Beispiel sind Standardbasismessungen äquivalent zu projektiven Messungen, bei denen $\Sigma$ die Menge der klassischen Zustände des betreffenden Systems $\mathsf{X}$ ist und unsere Sammlung von Projektionsmatrizen $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$ lautet.

Ein weiteres Beispiel einer projektiven Messung, diesmal auf zwei Qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ ist die Menge $\{\Pi_0,\Pi_1\}$, wobei

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{und}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

Wenn mehrere Systeme gemeinsam in einem Quantenzustand sind und eine projektive Messung nur an einem der Systeme durchgeführt wird, ist die Wirkung ähnlich wie bei Standardbasismessungen – und tatsächlich lässt sich diese Wirkung jetzt viel einfacher beschreiben als zuvor.

Genauer gesagt: Angenommen, wir haben zwei Systeme $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ im Quantenzustand $\vert\psi\rangle$, und eine projektive Messung, die durch die Sammlung $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ beschrieben wird, wird am System $\mathsf{X}$ durchgeführt, während an $\mathsf{Y}$ nichts getan wird. Das ist dann äquivalent zur Durchführung der durch die Sammlung

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

beschriebenen projektiven Messung am gemeinsamen System $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Jedes Messergebnis $a$ tritt mit Wahrscheinlichkeit

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2$$

auf, und bedingt auf das Ergebnis $a$ wird der Zustand des gemeinsamen Systems $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ zu

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

Implementierung projektiver Messungen

Beliebige projektive Messungen können mithilfe unitärer Operationen, Standardbasismessungen und eines zusätzlichen Hilfsystems implementiert werden, wie nun erklärt wird.

Sei $\mathsf{X}$ ein System und $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ eine projektive Messung auf $\mathsf{X}.$ Diese Diskussion lässt sich leicht auf projektive Messungen mit anderen Ergebnismengen verallgemeinern, aber der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Menge der möglichen Ergebnisse $\{0,\ldots,m-1\}$ ist.

Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass $m$ nicht notwendigerweise gleich der Anzahl der klassischen Zustände von $\mathsf{X}$ ist – wir bezeichnen die Anzahl der klassischen Zustände von $\mathsf{X}$ mit $n$, was bedeutet, dass jede Matrix $\Pi_k$ eine $n\times n$-Projektionsmatrix ist.

Da wir voraussetzen, dass $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ eine projektive Messung darstellt, gilt notwendigerweise:

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

Unser Ziel ist es, einen Prozess durchzuführen, der denselben Effekt hat wie diese projektive Messung auf $\mathsf{X}$, aber nur unitäre Operationen und Standardbasismessungen zu verwenden.

Dafür nutzen wir ein zusätzliches Hilfsystem $\mathsf{Y}$; konkret wählen wir die klassische Zustandsmenge von $\mathsf{Y}$ als $\{0,\ldots,m-1\}$ – dieselbe wie die Ergebnismenge der projektiven Messung. Die Idee ist, eine Standardbasismessung auf $\mathsf{Y}$ durchzuführen und das Ergebnis dieser Messung als äquivalent zum Ergebnis der projektiven Messung auf $\mathsf{X}$ zu interpretieren. Wir nehmen an, dass $\mathsf{Y}$ auf einen festen Zustand initialisiert wird, den wir als $\vert 0\rangle$ wählen. (Jede andere feste Quantenzustandswahl würde ebenfalls funktionieren, aber $\vert 0\rangle$ macht die folgende Erklärung deutlich einfacher.)

Damit eine Standardbasismessung von $\mathsf{Y}$ uns etwas über $\mathsf{X}$ verrät, müssen wir natürlich zulassen, dass $\mathsf{X}$ und $\mathsf{Y}$ vor der Messung von $\mathsf{Y}$ durch eine unitäre Operation auf dem System $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ miteinander wechselwirken. Betrachten wir zunächst diese Matrix:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

Als sogenannte Blockmatrix – also eine Matrix von Matrizen, die wir als eine einzelne, größere Matrix interpretieren – sieht $M$ so aus:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Dabei steht jede $0$ für eine $n\times n$-Matrix, die vollständig mit Nullen gefüllt ist, sodass die gesamte Matrix $M$ eine $nm\times nm$-Matrix ist.

Nun ist $M$ sicherlich keine unitäre Matrix (außer wenn $m=1$, da dann $\Pi_0 = \mathbb{I}$ gilt und $M = \mathbb{I}$ in diesem trivialen Fall), denn unitäre Matrizen können keine Spalten (oder Zeilen) haben, die vollständig aus Nullen bestehen; unitäre Matrizen haben Spalten, die orthonormale Basen bilden, und der Nullvektor ist kein Einheitsvektor.

Allerdings ist es der Fall, dass die ersten $n$ Spalten von $M$ orthonormal sind – das ergibt sich aus der Annahme, dass $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ eine Messung ist. Um das zu überprüfen, beachte: Für jedes $j\in\{0,\ldots,n-1\}$ lautet der Vektor, der durch Spalte $j$ von $M$ gebildet wird:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

Dabei nummerieren wir die Spalten beginnend bei Spalte $0.$ Das innere Produkt der Spalte $i$ mit der Spalte $j$ für $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ ergibt:

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

was zu zeigen war.

Da die ersten $n$ Spalten der Matrix $M$ orthonormal sind, können wir alle verbleibenden Nulleinträge durch andere komplexe Zahlen ersetzen, sodass die gesamte Matrix unitär wird:

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Wenn die Matrizen $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$ gegeben sind, können wir mit dem Gram-Schmidt-Verfahren geeignete Matrizen für die mit $\fbox{?}$ gekennzeichneten Blöcke berechnen – aber für unsere Zwecke spielt es keine Rolle, was genau diese Matrizen sind.

Schließlich können wir den Messprozess beschreiben: Wir wenden zuerst $U$ auf das gemeinsame System $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ an und messen dann $\mathsf{Y}$ mit einer Standardbasismessung. Für einen beliebigen Zustand $\vert \phi \rangle$ von $\mathsf{X}$ erhalten wir den Zustand

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

wobei die erste Gleichheit daraus folgt, dass $U$ und $M$ auf ihren ersten $n$ Spalten übereinstimmen. Wenn wir eine Standardbasismessung auf $\mathsf{Y}$ durchführen, erhalten wir jedes Ergebnis $k$ mit Wahrscheinlichkeit

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

und in diesem Fall wird der Zustand von $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ zu

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

Damit speichert $\mathsf{Y}$ eine Kopie des Messergebnisses, und $\mathsf{X}$ verändert sich genau so, wie es der Fall wäre, wenn die durch $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ beschriebene projektive Messung direkt auf $\mathsf{X}$ angewendet worden wäre.