Open-Shell- versus Closed-Shell-Optionen und die Auswirkung auf die Unterraumkonstruktion verstehen

In dieser Anleitung zeigen wir, wie du im Paket qiskit_addon_sqd Unterraumdimensionen wählst, um Quanten-Samples mit der Technik der selbstkonsistenten Konfigurationswiederherstellung nachzubearbeiten.

Wichtiger noch: Diese Anleitung hebt auch einige Unterschiede im Verhalten der Unterraumkonstruktion hervor, wenn sie im Modus open_shell = False oder open_shell = True ausgeführt wird:

open_shell = False funktioniert nur, wenn die Anzahl der Spin-up- und Spin-down-Elektronen gleich ist.
open_shell = True muss verwendet werden, wenn die Anzahl der Spin-up- und Spin-down-Elektronen verschieden ist. Er kann auch verwendet werden, wenn die Anzahl der Spin-up- und Spin-down-Elektronen gleich ist. In diesem letzten Fall unterscheiden sich jedoch die Größen der erzeugten Unterräume zwischen open_shell = False und open_shell = True, wie in dieser Anleitung besprochen.

HINWEIS: Einige der Manipulationen elektronischer Konfigurationen (Bitstrings) in diesem Paket haben zum Ziel, die Gesamtspinsymmetrie $S^2$ zu erhalten. Standard-Solver für Selected Configuration Interaction (SCI) können die $S^2$ -Erhaltung nicht exakt erzwingen. Folglich tun sie dies näherungsweise über einen Lagrange-Multiplikator.

Die Wahl der elektronischen Konfigurationen, die in den Eigenzustands-Solver eingehen, kann sich ebenfalls stark auf die Spinerhaltung auswirken. In einem (2-Elektronen, 2-Orbitale)-System kann man zum Beispiel die Konfiguration $|1001\rangle$ samplen (mit einer einzelnen Spin-up-Anregung über dem RHF-Zustand $|0101\rangle$ ), die eine Linearkombination des Open-Shell-Singulett- und des Triplett-Zustands ist, nämlich $(|1001\rangle ± |0110\rangle) /\sqrt{2}$ . Wird die Konfiguration |0110⟩ nicht gesampelt, lässt sich keine der beiden Eigenfunktionen des Gesamtspins konstruieren, was zu Spinkontamination oder Redundanz führt (die Konfiguration |1001⟩ geht in eine CI-Rechnung ein, hat aber im CI-Vektor den Koeffizienten 0). Wird auf dem Quantencomputer ein einzelnes Sample $|1001\rangle$ erzeugt, geht das Paket sqd in dieser Situation wie folgt vor:

open_shell = False:
1. Der Bitstring $1001$ wird in zwei Hälften geteilt, die Spin-up- und Spin-down-Konfigurationen darstellen: $10$ (up) und $01$ (down).
2. Die Liste der eindeutigen spinpolarisierten Konfigurationen wird aufgebaut: $\mathcal{U} = [01, 10]$ .
3. Dann betrachten wir alle möglichen Kombinationen der Elemente von $\mathcal{U}$ , um die Basis zu bilden: $\left \{ |0101\rangle, |0110\rangle , |1001\rangle , |1010\rangle \right \}$ , die den Singulett- und den Triplett-Zustand enthält.
open_shell = True:
1. Im Gegensatz zum Fall open_shell = False kombinieren wir die Hälften des Bitstrings nicht, um die Basis zu bilden.

Closed-Shell

Dieses Beispiel zeigt, wie die Bitstrings in einem (2-Elektronen, 4-Orbitale)-System manipuliert werden.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"qiskit_addon_sqd": "qiskit-addon-sqd"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

# Specify molecule properties
num_orbitals = 4
num_elec_a = num_elec_b = 1
open_shell = False

Ein Dictionary von Messergebnissen von Hand angeben:

counts_dict = {
    "00010010": 1 / 2.0 - 0.01,
    "01001000": 1 / 2.0 - 0.01,
    "00010001": 0.02,
}

Die Counts-dict in eine Bitstring-Matrix und ein Wahrscheinlichkeits-Array für die Nachbearbeitung umwandeln:

from qiskit_addon_sqd.counts import counts_to_arrays

# Convert counts into bitstring and probability arrays
bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts_dict)
print(bitstring_matrix_full)
print(probs_arr_full)

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]
 [False False False  True False False False  True]]
[0.49 0.49 0.02]

Einen einzelnen Batch der Größe zwei subsamplen:

n_batches = 1: Anzahl der Batches von Konfigurationen, die von den verschiedenen Aufrufen des Eigenzustands-Solvers verwendet werden
samples_per_batch = 2: Anzahl der eindeutigen Konfigurationen, die in jeden Batch aufgenommen werden

from qiskit_addon_sqd.subsampling import (
    postselect_by_hamming_right_and_left,
    subsample,
)

n_batches = 1
samples_per_batch = 2

# seed for random number generator
rand_seed = 48

# Post-select the configurations with the correct Hamming weight on each half
bitstring_matrix_postsel, probs_arr_postsel = (
    postselect_by_hamming_right_and_left(
        bitstring_matrix_full,
        probs_arr_full,
        hamming_right=num_elec_a,
        hamming_left=num_elec_b,
    )
)

# Generate the batches
batches = subsample(
    bitstring_matrix_postsel,
    probs_arr_postsel,
    samples_per_batch,
    n_batches,
    rand_seed=rand_seed,
)

print(batches[0])

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]]

Die Dezimaldarstellung der vom Eigenzustands-Solver verwendeten Spin-up- und Spin-down-Bitstrings ermitteln.

Das erste Element des Tupels entspricht der Dezimaldarstellung der Spin-up-Konfigurationen, das zweite Element des Tupels der Dezimaldarstellung der Spin-down-Konfigurationen:

from qiskit_addon_sqd.fermion import bitstring_matrix_to_ci_strs

ci_strs = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[0], open_shell=open_shell)
print(ci_strs)

(array([1, 2, 4, 8], dtype=int64), array([1, 2, 4, 8], dtype=int64))

Beachte: Obwohl die Anzahl der Samples pro Batch zwei beträgt und die gesampelten Bitstrings $00010010$ und $01001000$ lauten, werden pro Spinsorte vier elektronische Konfigurationen erzeugt. In diesem Fall ist die Menge der eindeutigen spinpolarisierten Konfigurationen gegeben durch:

\mathcal{U} = \{ 0001, 0010, 0100, 1000 \}

deren Dezimaldarstellung zur Basis 10 lautet

\mathcal{U}_{10} = \{ 1, 2, 4, 8 \}

Basis des Unterraums:

Der Eigenzustands-Solver nimmt alle möglichen Paare aus Spin-up- und Spin-down-Bitstrings, um die Basis $\mathcal{B}$ des Unterraums zu konstruieren:

Element 1: $|00010001\rangle$
Element 2: $|00010010\rangle$
Element 3: $|00010100\rangle$
Element 4: $|00011000\rangle$
Element 5: $|00100001\rangle$
Element 6: $|00100010\rangle$
Element 7: $|00100100\rangle$
Element 8: $|00101000\rangle$
Element 9: $|01000001\rangle$
Element 10: $|01000010\rangle$
Element 11: $|01000100\rangle$
Element 12: $|01001000\rangle$
Element 13: $|10000001\rangle$
Element 14: $|10000010\rangle$
Element 15: $|10000100\rangle$
Element 16: $|10001000\rangle$

ci_strs_up, ci_strs_dn = ci_strs

print("Basis elements of the subspace:")

for ci_str_up in ci_strs_up:
    for ci_str_dn in ci_strs_dn:
        format_name = "{0:0" + str(num_orbitals) + "b}"
        print(
            "|"
            + format_name.format(ci_str_up)
            + format_name.format(ci_str_dn)
            + ">"
        )

Basis elements of the subspace:
|00010001>
|00010010>
|00010100>
|00011000>
|00100001>
|00100010>
|00100100>
|00101000>
|01000001>
|01000010>
|01000100>
|01001000>
|10000001>
|10000010>
|10000100>
|10001000>

Die Unterraumdimension ist nach oben beschränkt durch: $2 \cdot$ (samples_per_batch) $^2$ .

Open-Shell

Dieses Beispiel zeigt, wie die Bitstrings in einem (2-Elektronen, 4-Orbitale)-System manipuliert werden.

# Specify molecule properties
num_orbitals = 4
num_elec_a = num_elec_b = 1
open_shell = True

Ein Dictionary von Messergebnissen von Hand angeben:

counts_dict = {
    "00010010": 1 / 2.0 - 0.01,
    "01001000": 1 / 2.0 - 0.01,
    "00010001": 0.02,
}

Die Counts-dict in eine Bitstring-Matrix und ein Wahrscheinlichkeits-Array für die Nachbearbeitung umwandeln:

# Convert counts into bitstring and probability arrays
bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts_dict)
print(bitstring_matrix_full)
print(probs_arr_full)

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]
 [False False False  True False False False  True]]
[0.49 0.49 0.02]

Einen einzelnen Batch der Größe zwei subsamplen:

n_batches = 1: Anzahl der Batches von Konfigurationen, die von den verschiedenen Aufrufen des Eigenzustands-Solvers verwendet werden
samples_per_batch = 2: Anzahl der eindeutigen Konfigurationen, die in jeden Batch aufgenommen werden

n_batches = 1
samples_per_batch = 2

# seed for random number generator
rand_seed = 48

# Post-select the configurations with the correct Hamming weight on each half
bitstring_matrix_postsel, probs_arr_postsel = (
    postselect_by_hamming_right_and_left(
        bitstring_matrix_full,
        probs_arr_full,
        hamming_right=num_elec_a,
        hamming_left=num_elec_b,
    )
)

# Generate the batches
batches = subsample(
    bitstring_matrix_postsel,
    probs_arr_postsel,
    samples_per_batch,
    n_batches,
    rand_seed=rand_seed,
)

print(batches[0])

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]]

Die Dezimaldarstellung der vom Eigenzustands-Solver verwendeten Spin-up- und Spin-down-Bitstrings ermitteln.

Das erste Element des Tupels entspricht der Dezimaldarstellung der Spin-up-Konfigurationen, das zweite Element des Tupels der Dezimaldarstellung der Spin-down-Konfigurationen:

ci_strs = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[0], open_shell=open_shell)
print(ci_strs)

(array([2, 8], dtype=int64), array([1, 4], dtype=int64))

Wenn wir open_shell = True angeben, nehmen wir nicht alle eindeutigen Halb-Bitstrings als Spin-up- und Spin-down-Konfigurationen auf und erhalten so eine kleinere Basis als bei open_shell = False. Basis des Unterraums:

Der Eigenzustands-Solver nimmt alle möglichen Paare aus Spin-up- und Spin-down-Bitstrings, um die Basis $\mathcal{B}$ des Unterraums zu konstruieren:

Element 1: $|00010010\rangle$
Element 2: $|00011000\rangle$
Element 3: $|01000010\rangle$
Element 4: $|01001000\rangle$

ci_strs_up, ci_strs_dn = ci_strs

print("Basis elements of the subspace:")

for ci_str_up in ci_strs_up:
    for ci_str_dn in ci_strs_dn:
        format_name = "{0:0" + str(num_orbitals) + "b}"
        print(
            "|"
            + format_name.format(ci_str_up)
            + format_name.format(ci_str_dn)
            + ">"
        )

Basis elements of the subspace:
|00100001>
|00100100>
|10000001>
|10000100>

Die Unterraumdimension ist nach oben beschränkt durch: (samples_per_batch) $^2$ .

Closed-Shell​

Open-Shell​

Closed-Shell

Open-Shell