Das Wesen quantenmechanischer Zustände: verborgene Variablen versus Bellsche Ungleichung

Für dieses Qiskit-in-Classrooms-Modul benötigst du eine funktionierende Python-Umgebung mit folgenden installierten Paketen:

• qiskit v2.1.0 oder neuer
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 oder neuer
• qiskit-aer v0.17.0 oder neuer
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Informationen zur Einrichtung und Installation der genannten Pakete findest du in der Anleitung Qiskit installieren. Um Jobs auf echten Quantencomputern ausführen zu können, musst du ein Konto bei IBM Quantum® anlegen und dabei die Schritte der Anleitung IBM-Cloud-Konto einrichten befolgen.

Dieses Modul wurde getestet und hat 12 Sekunden QPU-Zeit benötigt. Dies ist nur eine Schätzung. Dein tatsächlicher Verbrauch kann abweichen.

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Schau dir unten den Modul-Walkthrough von Dr. Katie McCormick an, oder klicke hier, um ihn auf YouTube anzusehen.

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Hintergrund

In vielen Berechnungen der Quantenmechanik geht man von einem bekannten Zustand eines Systems aus, der typischerweise durch eine Messung bekannt ist. Heute wollen wir die Frage beantworten: „Was lässt sich über den Zustand eines Teilchens vor jeder Messung aussagen?" Eine naheliegende Ergänzung dazu lautet: „Wie können wir das wissen, wenn wir nicht messen dürfen?"

Diese Frage reicht bis in die Anfänge der Quantenmechanik zurück. Die Pioniere des Fachgebiets spalteten sich in Lager auf: Einstein und viele andere vertraten die Ansicht, ein Teilchen befinde sich vor der Messung einfach in einem unbekannten, aber durchaus definierten Zustand. Andere, allen voran Max Born und später Niels Bohr, erhoben eine weitaus radikalere Behauptung: Der Zustand eines Teilchens sei von der Natur vor der Messung wirklich unbestimmt – nicht nur dem Menschen unbekannt, sondern physikalisch nicht definiert. Die Messung kollabiere das Teilchen dann probabilistisch in einen bestimmten Zustand. Einstein, unzufrieden mit dieser Erklärung, kommentierte dies mit dem berühmten Ausspruch: „Gott würfelt nicht."

Jahrzehntelang nach dem Aufkommen dieses Streits glaubten viele, er könnte niemals entschieden werden oder sei eine Frage der Perspektive. Dann schrieb 1964 John Bell, ein Physiker aus Nordirland, eine Arbeit, in der er die Statistik bestimmter Experimente untersuchte, die diese Frage eindeutig beantworten könnten. Er zeigte, dass man in einem bestimmten Test je nach Interpretationsannahme zu unterschiedlichen Statistiken gelangt: zu einer Statistik, wenn Quantenzustände definiert (aber unbekannt) sind, und zu einer anderen, wenn Quantenzustände von der Natur grundlegend unbestimmt sind.

Zum Zeitpunkt von Bells Arbeit waren experimentelle Überprüfungen der betreffenden Statistiken allenfalls Forschenden an der absoluten Spitze der Physik zugänglich. Heute aber hat IBM Quantum es Studierenden auf der ganzen Welt ermöglicht, echte Quantengeräte zu nutzen – aus der Ferne über die Cloud und kostenlos –, um das Wesen quantenmechanischer Zustände zu erforschen. Genau das wirst du heute tun.

Aufbau des Gedankenexperiments: Verschränkung von Spins

Es gibt Prozesse, bei denen ein Teilchen ohne Spin in zwei Teilchen mit jeweils einem Spin zerfällt. Da Spin eine Art Drehimpuls ist, legt das Gesetz der Drehimpulserhaltung nahe, dass die beiden entstehenden Teilchen genau entgegengesetzte Spins haben müssen. Dies wird tatsächlich experimentell beobachtet.

Ein Beispiel: Ein neutrales Pi-Meson zerfällt manchmal in ein Positron und ein Elektron: $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ Mach dir keine Sorgen, wenn du nicht weißt, was das für Teilchen sind, und mach dir auch keine Sorgen, wenn du sie gut genug kennst, um zu wissen, dass dieser Zerfallstyp relativ selten ist. Wichtig ist nur: Wenn eines der entstehenden Teilchen Spin-auf hat, muss das andere Spin-ab haben und umgekehrt. Natürlich ist an „oben" und „unten" nichts Besonderes; die gleiche Antiausrichtung zeigt sich auch bei Messungen entlang der $x$- oder $y$-Achse. Dieser Zerfall ist ein überzeugender Ausgangspunkt für unsere Überlegungen, weil wir Fragen darüber, welche Messungen in der Vergangenheit stattgefunden haben, umgehen können: Das Positron und das Elektron existierten bis zum Moment des Zerfalls überhaupt nicht.

Wir können $\pi^0$-Mesonen zerfallen lassen und die Ablenkung der entstehenden Teilchen im inhomogenen Magnetfeld beobachten. Ein inhomogenes Feld zur Ablenkung von Spins wird oft als Stern-Gerlach-Apparat bezeichnet, nach den Forschern, die ihn erstmals nutzten, um (zufällig) Belege für die Existenz des quantenmechanischen Spins zu sammeln. Zu beachten ist, dass der Sachverhalt hier komplizierter ist als im ursprünglichen Experiment, da Elektron und Positron – anders als die Silberatome im Stern-Gerlach-Experiment – auch geladen sind. Aber wir wissen, wie sich geladene Teilchen im Magnetfeld bewegen, und können diesen Effekt herausrechnen. Im Folgenden nehmen wir an, dass die in unseren Berechnungen verwendeten Ablenkungen auf den Spin der Teilchen zurückzuführen sind und nicht auf ihre Ladung. Daher spielt es für unsere Zwecke keine Rolle, welcher Beobachter das Positron und welcher das Elektron erhält. Der experimentelle Aufbau sieht in etwa so aus:

Beim Zerfall des Mesons wird ein Elektron in eine Richtung und ein Positron in die andere geschleudert. Beide Teilchen passieren ein inhomogenes Magnetfeld, das sie entweder in Richtung des Feldes oder entgegen dem Feld ablenkt.

Haben wir eine Quelle vieler Mesonen, können wir dazu Statistiken sammeln. Wenn ein Beobachter links und einer rechts (nennen wir sie Lucas bzw. Rihanna) immer entlang derselben Achse messen, sind diese Statistiken wenig aufregend: Jedes Mal, wenn einer Spin-auf misst, misst der andere Spin-ab; jedes Mal, wenn einer in die Seite misst, misst der andere aus der Seite heraus, und so weiter. Wenn die Beteiligten aber frei wählen können, entlang welcher Richtung sie den Spin messen, ergibt sich möglicherweise etwas Interessanteres.

Das oben beschriebene Experiment, bei dem Teilchen mit Spindrehimpuls auseinanderfliegen und von zwei Beobachtern gemessen werden, wurde ursprünglich von Einstein, Podolsky und Rosen (EPR) in diesem Artikel vorgeschlagen und wird daher manchmal als „EPR-Experiment" bezeichnet.

Unsere Optionen

Zur Klarheit formulieren wir die beiden historischen Standpunkte noch einmal:

Option 1 (Einstein): Die beiden Spins (Elektron und Positron) sind festgelegt, das heißt, das Ergebnis jeder Messung entlang jeder Achse ist von der Natur vorherbestimmt, auch wenn wir es nicht kennen. Man kann sich vorstellen, dass die Spins eine reale, wohldefinierte Ausrichtung im Raum haben, die uns nicht bekannt ist, aber existiert. Oder man kann sich das als eine Menge von Informationen oder Anweisungen vorstellen, die die Messergebnisse entlang $x$, $y$, $z$ oder einer beliebigen Zwischenrichtung festlegen. Die Messung des Positron-Spins (etwa entlang z) zwingt ihn, sich entlang der z- oder -z-Richtung auszurichten. Das hat keinen kausalen Einfluss auf den Elektronspin, obwohl wir wissen, dass der Elektronspin dem Positronspin entgegengesetzt war: Wird der Positronspin als +z gemessen, wird der Elektronspin als -z gemessen. Abgesehen von der Anfangsbedingung der drehimpulserhaltenden Anweisungen (antiparallele Spins) besteht keine Verbindung zwischen den beiden Spins. Diese Option wird manchmal als „verborgene Variablen" bezeichnet: Die Projektionen entlang verschiedener Achsen sind festgelegt, uns aber verborgen.

Option 2 (Born): Beide Spins sind in ihren Anfangszuständen unbestimmt – nicht nur unbekannt, sondern physikalisch nicht definiert, ohne bestimmte Ausrichtung oder Anweisungen für Messergebnisse, bis sie gemessen werden. Die Messung des Positronspins „kollabiert" den gesamten Möglichkeitsraum auf einen einzigen bestimmten Zustand, entweder entlang der +z- oder -z-Achse. Diese Messung zwingt auch den Elektronspin dazu, in eine wohldefinierte Projektion entlang z zu kollabieren, genau entgegengesetzt zum Positron. Dieser Effekt erstreckt sich über den gesamten Raum zwischen Positron und Elektron. Dies wurde als „spukhafte Fernwirkung" bezeichnet, könnte aber nüchterner als „nicht-lokale Physik" bezeichnet werden.

Verständnisfragen

Lies die folgende Frage, denk über deine Antwort nach und klicke dann auf das Dreieck, um die Lösung einzublenden.

Es wäre schön, zwischen Einsteins und Borns Option experimentell zu unterscheiden. Welche Experimente würden unabhängig davon, welche Option zutrifft, dieselben Ergebnisse liefern? Fällt dir ein Experiment ein, das für die beiden Optionen unterschiedliche Ergebnisse ergäbe? Hinweis Es wäre sehr beeindruckend, wenn du ein Experiment findest, das unterschiedliche Ergebnisse für Einsteins und Borns Option liefert; die Menschheit brauchte Jahrzehnte, um eines zu entwickeln.

Antwort:

Bleiben wir bei dem bisher beschriebenen Experiment (also ohne Nettospin, mit antiparallelen Positron- und Elektron-Spins): Die Messung beider Spins entlang $\pm x$, $\pm y$ oder $\pm z$ würde aufgrund der Drehimpulserhaltung immer entgegengesetzte Vorzeichen ergeben, unabhängig davon, welche Option zutrifft. Misst man den Spin eines Teilchens (sagen wir das Elektron) entlang einer Richtung (sagen wir $+z$), wird der Spin des anderen Teilchens, des Positrons, entlang $-z$ gemessen. Misst man stattdessen den Spin des Positrons entlang der $x$-Richtung, ist es gleich wahrscheinlich, $+x$ oder $-x$ zu erhalten. Das könnte daran liegen, dass dies die verborgenen Anweisungen so vorsehen (Einsteins Option 1), oder daran, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Positronspins nach der Elektronspinmessung aktualisiert und die neue Verteilung einer 50-50-Aufteilung zwischen $\pm x$ entspricht (Borns Option 2). Diese Punkte werden weiter unten ausführlicher erklärt.

Die Antwort unterscheidet sich nur geringfügig, wenn man den Zerfall eines Teilchens mit Spin-1 betrachtet, sodass die beiden entstehenden Teilchen (wie Positron und Elektron) ihre Spins ausgerichtet haben müssen statt antiparallel. Wird eines entlang $+y$ gemessen, muss eine Messung des anderen Teilchens entlang der $y$-Achse ebenfalls $+y$ ergeben, und so weiter. Wie zuvor könnte dies aus beiden Optionen folgen.

Der Rest dieser Lektion ist einem Experiment gewidmet, das zwischen Einsteins und Borns Option unterscheiden kann, daher gehen wir hier nicht weiter ins Detail. Ein Teil des Tricks besteht darin, die beiden Teilchen entlang verschiedener Richtungen zu messen (z. B. $x$ und $z$, oder sogar eine Richtung zwischen den klassischen kartesischen Achsen). Der Rest ergibt sich aus sorgfältiger Betrachtung der genauen Wahrscheinlichkeit, bestimmte Ergebnisse angesichts der Vorhersagen der Quantenmechanik und der klassischen Information (verborgene Variablen) zu erhalten.

In beiden Optionen würden Lucas und Rihanna, wenn sie entlang derselben Achse messen, antiparallele Spins erhalten – unabhängig davon, welche Option zutrifft. Warum das so ist, zeigen die folgenden Diagramme.

Die Abbildung oben zeigt Einsteins Option. Die Spinrichtungen sind entgegengesetzt und festgelegt. Messen wir entlang der $z$-Achse, liegt einer entlang $+z$ und der andere entlang $-z$. Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Positron entlang $+z$ und das Elektron entlang $-z$ liegen; die Abbildung zeigt nur, dass die Spins in entgegengesetzte Richtungen gemessen werden. Tatsächlich muss ein gegebener Spin im Fall von Einsteins Option gar keine Komponente entlang der schließlich gemessenen Richtung haben. Die schwächste Formulierung von Einsteins Option lautet: Es gibt irgendwelche im Spin gespeicherten Anweisungen, die die Messergebnisse für jede Achse festlegen. Wir müssen uns diese Anweisungen nicht als einfachen Vektor vorstellen (siehe Diagramm unten) – dazu kommen wir später zurück.

Die Abbildung unten zeigt Borns Option, bei der die Richtungen von Positron- und Elektronspin in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung verschmiert sind und keine bestimmte Richtung haben. Überinterpretiere die Form der Verteilung nicht. Jeder Spin könnte tatsächlich eine von null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben, in irgendeine Richtung zu zeigen, solange die Spins entgegengesetzt sind; wir haben sie lediglich als Kreissegmente gezeichnet, damit wir sie für die Diskussion visuell unterscheiden können. Beachte, dass auch bei Borns Option der Drehimpuls erhalten bleiben muss. Wenn also eine Wahrscheinlichkeitswolke so „kollabiert", dass der Spin entlang $+z$ zeigt, zeigt der andere entlang $-z$ und wird in die entgegengesetzte Richtung abgelenkt. Die Optionen sehen identisch aus.

Was passiert aber, wenn die Beobachter L und R entlang dreier Achsen messen können, die jeweils um 120 Grad versetzt sind, wie in den Abbildungen 4 und 5 dargestellt? Jeder Beobachter kann zufällig wählen, entlang welcher Achse er den Spin misst (a, b oder c). Beide müssen nicht entlang derselben Achse messen. Jeder Beobachter kann entweder eine positive oder eine negative Projektion auf die gewählte Achse finden. So könnten Lucas und Rihanna zum Beispiel +a und -b oder +b und +c messen. Wenn sie zufällig dieselbe Achse wählen, müssen sie zwingend entgegengesetzte Vorzeichen bei ihren Projektionen erhalten: +a und -a, +b und -b, oder +c und -c; sie können zum Beispiel nicht beide +a finden. Im nächsten Abschnitt werden wir durchrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Lucas und Rihanna auf ihren gemessenen Achsen dasselbe Vorzeichen erhalten (++ oder --) und wie groß die Wahrscheinlichkeit entgegengesetzter Vorzeichen ist (+-) oder (-+).

Die beiden Abbildungen oben veranschaulichen mögliche Interpretationen mit verborgenen Variablen in diesem neuen Drei-Achsen-Messszenario. Das heißt: Entweder sind die Spins bereits als Vektoren festgelegt, oder es existiert eine Menge physikalischer Anweisungen, die irgendwie im System eingebettet sind und die Ergebnisse aller möglichen Messungen vorherbestimmen, auch wenn sie für Experimentatoren vor der Messung nicht erkennbar sind. Die Alternative ist unten dargestellt: Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ergebnissen, und diese Verteilung kann uns etwas über die Wahrscheinlichkeit verschiedener Messergebnisse sagen, aber die Ergebnisse sind von der Natur vor der Messung nicht bestimmt.

Wir können uns fragen: „Wie oft sollten die beiden Beobachter dasselbe Vorzeichen der Spinprojektion finden?" Das heißt, wir zeichnen nicht einmal auf, entlang welcher Achse sie gemessen haben; wir registrieren nur, ob sie dasselbe Vorzeichen oder ein unterschiedliches Vorzeichen gefunden haben. Es ist nicht offensichtlich, ob Einsteins und Borns Optionen in diesem komplizierteren Messschema dasselbe Ergebnis liefern. Aus den Abbildungen 4 und 5 sollte aber klar werden, dass es $möglich$ ist, dass ein Unterschied besteht. Im Fall von Einsteins Option liefert eine Messung der Projektion des $e+$-Spins auf Achse $a$ definitiv $+a$, und die Projektion des $e-$-Spins auf Achse $b$ ergibt $-b$ (knapp). Bei Borns Option hingegen sind alle Möglichkeiten offen. Drehimpulserhaltung gilt zwar weiterhin. Aber da die beiden Magnetfelder nicht entlang derselben Achse ausgerichtet sind, befinden sich die Teilchen in einer Situation, in der sie auf verschiedene Achsen kollabieren müssen (durch Wechselwirkung mit dem Feld). Im nächsten Abschnitt verwenden wir die Quantenmechanik, um zu bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit gemäß Borns Option ist, dass Lucas und Rihanna auf ihren gemessenen Achsen dasselbe Vorzeichen erhalten (++ oder --), und wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sie entgegengesetzte Vorzeichen erhalten (+- oder -+).

Vorhersagen

Was sagt Einsteins Option (verborgene Variablen) vorher?

Wenn Einsteins Option zutrifft, haben ein gegebenes $e+$-$e-$-Paar eine Menge von Vektorkomponenten ihrer Spins. Zum Beispiel könnte das Elektron die Komponenten $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$ haben, dann muss das Positron die Komponenten $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$ haben. Wir legen hier nur das Vorzeichen der Projektion auf jede Achse fest, nicht den Betrag. Stellen wir uns vor, eine sehr große Anzahl $N$ solcher Zerfälle finde statt, und wir sammeln Messungen, um die folgende Tabelle zu befüllen.

Population	Teilchen 1	Teilchen 2
$N_1$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_2$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_3$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_4$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$
$N_5$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_6$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_7$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_8$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$

Für jeden Fall in der obigen Tabelle gibt es 9 mögliche Achsenkombinationen für Lucas und Rihanna: $aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$ und $cc$. Aus der Tabelle liest man ab, dass die Wahrscheinlichkeit, bei den Zeilen 1 und 8 dasselbe Vorzeichen zu messen, null ist. Für die Zeilen 2–7 gibt es 4 Möglichkeiten, dasselbe Vorzeichen zu erhalten; wir zeigen dies nur für Zeile 2:

Gleiches Vorzeichen: $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Entgegengesetztes Vorzeichen: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Wenn also Einsteins Option die korrekte Interpretation von Quantenzuständen ist, beträgt die über alle möglichen Populationen summierte Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Lucas und Rihanna auf ihren zufällig gewählten Achsen dasselbe Vorzeichen der Spinprojektion erhalten: $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ Gleichheit gilt nur, wenn $N_1=N_8=0$.

Verständnisfragen

Lies die folgenden Fragen, denk über deine Antworten nach und klicke dann auf die Dreiecke, um die Lösungen einzublenden.

Für Zeile 2 der obigen Tabelle haben wir alle Möglichkeiten aufgelistet, bei denen Lucas und Rihanna dasselbe Vorzeichen erhalten, sowie alle Möglichkeiten für unterschiedliche Vorzeichen. Wiederhole das für die dritte Zeile.

Antwort:

Gleiches Vorzeichen: $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

Entgegengesetztes Vorzeichen: $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

Die obige Tabelle bezieht sich auf „Populationen", das heißt, wir wissen nicht, wie viele Anweisungen jedes Typs die Natur produziert, falls die Behandlung mit verborgenen Variablen korrekt ist. Zeige, dass unabhängig von der Verteilung von $N_1$ bis $N_8$ die Wahrscheinlichkeit, bei den Messungen dasselbe Vorzeichen zu erhalten, stets kleiner oder gleich 4/9 ist.

Antwort:

Gehen wir von einer konstanten Gesamtzahl von Messversuchen aus, sodass $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ konstant ist. Im Sonderfall $N_1=N_8=0$ vereinfacht sich der Ausdruck zu

$$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

Nehmen wir nun an, dass entweder $N_1 \neq 0$ oder $N_8 \neq 0$. Dann gilt:

$$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

Die Gesamtzahl der Versuche, $N_{tot}$, ist noch dieselbe wie zuvor. Da aber $N'_1$ oder $N'_8$ von 0 an gestiegen ist, muss die Summe von $N'_2$ bis $N'_7$ geringer sein als zuvor. Insbesondere ist die Summe von $N'_2$ bis $N'_7$ kleiner als $N_{tot}$. Damit gilt:

$$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

Zusammenfassend gilt also in allen möglichen Fällen $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Verallgemeinerung

In der obigen Behandlung haben wir Messungen entlang bestimmter Achsen betrachtet. Natürlich kann man Messungen entlang jeder beliebigen Achse durchführen. Nennen wir die beiden Spinvektoren der zwei Teilchen $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Sei $\lambda$ eine verborgene Variable, sodass ein Zustand des Zwei-Teilchen-Systems einem wohldefinierten Wert von $\lambda$ entspricht. Sei $\rho(\lambda)$ die Wahrscheinlichkeitsdichte in $\lambda$. Schließlich wählen wir die Symbole $A(\vec{a},\lambda)$ und $B(\vec{b},\lambda)$ für das vorherbestimmte Ergebnis einer Messung an einem der Teilchen (A oder B), gegeben die Spinvektoren und die verborgene Variable. Entscheidend dabei: $A$ ist unabhängig von $\vec{b}$, und $B$ ist unabhängig von $\vec{a}$. Man kann nun beliebig viele Fragen zu Korrelationen zwischen Messungen an A und B stellen. Insbesondere kann man den Erwartungswert betrachten:

$$E(\vec{a},\vec{b})\equiv\int{d\lambda \rho(\lambda)A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)}$$

Unter Standardannahmen für diese Werte, wie $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$ und Normierung über $\rho(\lambda)$, lässt sich zeigen, dass Korrelationen zwischen den beiden Teilchen der folgenden Relation gehorchen:

$$|E(\vec{a},\vec{b})-E(\vec{a},\vec{d})|+|E(\vec{c},\vec{d})+E(\vec{c},\vec{b})|\leq 2,$$

wobei $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die Spinzustände deines Systems sind und $\vec{c}$ und $\vec{d}$ Referenz-Spinzustände (beliebige andere mögliche Spinzustände des Systems). Dies ist eine von einer ganzen Klasse von Ungleichungen, die heute als „Bellsche Ungleichungen" bekannt sind. Diese allgemeine Form werden wir hier nicht verwenden. Stattdessen konzentrieren wir uns auf einen konkreten experimentellen Aufbau, den wir auf einen Quantenschaltkreis abbilden können.

Was sagt Borns Option (nicht-deterministische Quantenmechanik) vorher?

Lucas wählt eine Achse und findet den Spin eines Teilchens entweder in der positiven oder negativen Richtung. Was auch immer er erhält: Wir richten unsere Achsen so aus, dass die $z$-Achse diese Richtung ist. Dann können wir den Anfangszustand nach dem Mesonzerfall und vor jeder Messung schreiben als:

$$|\psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R)$$

Rihanna misst den Spin ihres Teilchens entlang einer anderen Richtung, die einen Winkel $\theta$ zu Lucas' Richtung einnimmt. Der Spinoperator entlang einer beliebigen Richtung $\hat{n}$ lautet:

$$\hat{S}_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix}$$

Die Eigenzustände dieses Operators sind:

$$|+\rangle_{\hat{n}}=\cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle \\ |-\rangle_{\hat{n}}=\sin(\theta/2)|0\rangle-\cos(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle$$

Verständnisfragen

Lies die folgenden Fragen, denk über deine Antworten nach und klicke dann auf die Dreiecke, um die Lösungen einzublenden.

Verifiziere, dass $|+\rangle_{\hat{n}}$ ein Eigenzustand des Operators $\hat{S}_{\hat{n}}$ oben ist, und bestimme den Eigenwert.

Antwort:

$$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Mit $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ und $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$ ergibt sich:

$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Dies zeigt, dass $|+\rangle_{\hat{n}}$ ein Eigenzustand ist und der entsprechende Eigenwert $\frac{\hbar}{2}$ beträgt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Lucas einen Spin in der positiven Richtung entlang seiner gewählten Achse $|+\rangle$ misst $und$ Rihanna ebenfalls einen positiven Spin entlang ihrer gewählten Richtung $|+\rangle_{\hat{n}}$ misst, beträgt:

$$P_{++}=\left|\left(_L\langle+|_{R,\hat{n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$ $$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(|+\rangle_L|-\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\vphantom{p}_R\langle-|\right) |-\rangle_R \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Verständnisfragen

Lies die folgenden Fragen, denk über deine Antworten nach und klicke dann auf die Dreiecke, um die Lösungen einzublenden.

Mache dasselbe für $P_{--}$. Verifiziere, dass es ebenfalls $\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$ ergibt.

Antwort:

$$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Addieren wir diese Ergebnisse, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die Vorzeichen der beiden gemessenen Achsen gleich sind: $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Verständnisfragen

Lies die folgende Frage, denk über deine Antwort nach und klicke dann auf das Dreieck, um die Lösung einzublenden.

Was könntest du tun, um das Ergebnis dieser Rechnung zu überprüfen? Es geht hier nicht darum, zu verifizieren, dass es mit der Natur übereinstimmt, sondern nur darum, sicherzustellen, dass in der ganzen Mathematik kein Fehler unterlaufen ist.

Antwort:

(1) Führe dieselbe Rechnung für $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ durch, um die Wahrscheinlichkeitserhaltung zu verifizieren.

(2) Überprüfe einen bekannten Fall. Setze $\theta = 0$ ein. Dann entspricht $P_{\text{same}}$ der Situation, in der beide Beobachter ihren Spin entlang derselben Achse messen – was die Drehimpulserhaltung verletzen würde. Diese Wahrscheinlichkeit sollte also null sein, und tatsächlich liefert das Einsetzen von $\theta = 0$ den Wert $\sin^2(0/2) = 0$.

(3) Überprüfe einen anderen bekannten Fall. Probiere $\theta = \pi$. Was solltest du erhalten? Achtung auf das $\frac{1}{2}$.

Wir haben speziell den Fall skizziert, bei dem die Achsen um $120°$ zueinander versetzt sind. Denk daran: Was auch immer Lucas misst ($\pm a$, $\pm b$ oder $\pm c$), nennen wir diese Richtung $z$. Rihanna wählt dann zufällig, ob sie entlang $\pm a$, $\pm b$ oder $\pm c$ misst. Wenn ihre Wahl dieselbe Achse wie die von Lucas ist (bis auf ein Vorzeichen), messen beide entlang $z$, und die Wahrscheinlichkeit, dass Rihanna ebenfalls $+z$ misst, ist null. Das tritt zu 1/3 der Zeit auf, da Rihannas Wahl der Achse unabhängig von Lucas' Wahl ist. Bei jeder anderen Wahl misst Rihanna entlang einer Achse, die entweder $120° = 2\pi/3$ Bogenmaß von $z$ entfernt ist (zu 1/3 der Zeit) oder $240° = 4\pi/3$ Bogenmaß von $z$ entfernt ist (zu 1/3 der Zeit). Und entlang jeder dieser Achsen kann der Spin in der positiven oder negativen Richtung gemessen werden. Das ergibt eine Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Lucas und Rihanna dasselbe Vorzeichen erhalten:

$$P_{\text{same}} = \frac{1}{3}\left( 0 + \sin^2(\pi/3) + \sin^2(2\pi/3) \right) = \frac{1}{3}\left( 0 + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2}$$

Wow

Wir haben soeben gezeigt, dass

$$(P_\text{same})_\text{max, Einstein}<(P_\text{same})_\text{max, Born}.$$

Halten wir einen Moment inne.

Einsteins und Borns Optionen schienen immer dieselben Ergebnisse zu liefern, da sie sich nur in ihrer Beschreibung dessen unterscheiden, was vor der Messung geschieht. Und doch erhielten wir durch die Annahme von Anweisungen, die das Vorzeichen der Spinmessung entlang bestimmter Achsen vorherbestimmen, eine Einschränkung der Wahrscheinlichkeit für gleiche Vorzeichen: $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Dann nahmen wir Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie in der Quantenmechanik an – und erhielten einen anderen Wert: $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. Die Vorhersage der Quantenmechanik liegt höher als das, was die Behandlung mit verborgenen Variablen erlaubt. Wir können also tatsächlich ein Experiment durchführen und herausfinden, ob quantenmechanische Zustände von der Natur vor der Messung bestimmt sind, oder ob sie sich wirklich in einer probabilistischen Überlagerung möglicher Zustände befinden.

Dieses Experiment wurde viele Male mit verschiedenen physikalischen Systemen durchgeführt, oft mit Photonen. Es gibt viele subtile Überlegungen: Messfehler, die zeitliche Gleichzeitigkeit von Messungen und vieles mehr. Im Laufe der Jahrzehnte wurden Bedenken zu diesen Feinheiten schrittweise ausgeräumt. Tests werden weiterhin durchgeführt, je mehr wir über die Realität lernen. Doch heute besteht breite Übereinstimmung darüber, dass das Ergebnis, das du hier mit IBM® Quantencomputern erhalten wirst, korrekt ist.

Test mit echten Quantencomputern!

Entsprechend unserer obigen Behandlung legen wir die Richtung von Lucas' Messung als $+z$ fest. Das war bereits im algebraischen Ansatz praktisch, ist aber bei der Quantenberechnung besonders bequem, da üblicherweise die Projektion des Qubits entlang $z$ gemessen wird. Wir wollen einen Quantenschaltkreis erstellen, der uns dieselben Wahrscheinlichkeitsbedingungen wie oben für $P_{++}$ liefert. Wir können unsere Ebene so ausrichten, dass $\phi=0$, und erhalten:

$$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$

Wir müssen einige Dinge über IBM-Quantencomputer wissen, die unsere Diskussion leiten. Erstens: Qubits starten initialisiert im Zustand $|0\rangle = |+\rangle_z$. Wie erwähnt, werden Messungen entlang der $z$-Achse durchgeführt. Das Ziel ist also, zu bestimmen, welche Operatoren wir zwischen die Messbasiszustände $\langle 0|\langle 0|$ und die Anfangszustände der Qubits $|0\rangle |0\rangle$ einfügen müssen, um den komplizierten obigen Ausdruck zu erhalten. Dafür müssen wir einige grundlegende Gates in der Quantenberechnung wiederholen.

$X$-Gate: Entspricht einer NOT-Operation. Einzel-Qubit-Gate.

$$X|0\rangle = |1\rangle,\\X|1\rangle=|0\rangle$$ $$X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

In Qiskit sieht ein Circuit mit einem $X$-Gate so aus:

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

$H$-Hadamard-Gate: Erzeugt einen Superpositionszustand. Einzel-Qubit-Gate.

$$H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle+|1\rangle\right),$$ $$H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle-|1\rangle\right)$$ $$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Ein Circuit mit einem Hadamard-Gate wird folgendermaßen erstellt:

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

CNOT Controlled-NOT-Gate: Dieses Gate verwendet zwei Qubits: ein Steuer-Qubit und ein Ziel-Qubit. Es prüft den Zustand des Steuer-Qubits, das selbst unverändert bleibt. Ist das Steuer-Qubit im Zustand $|1\rangle$, ändert das Gate den Zustand des Ziel-Qubits; ist es im Zustand $|0\rangle$, wird keine Änderung vorgenommen. In der folgenden Notation sei das erste Qubit das Steuer-Qubit und das zweite das Ziel-Qubit.

$$CNOT|00\rangle = |00\rangle, \\ CNOT|01\rangle = |01\rangle \\ CNOT|10\rangle = |11\rangle \\ CNOT|11\rangle = |10\rangle$$

Ein CNOT-Gate sieht in einem Circuit etwas anders aus, da es zwei Qubits benötigt. So wird es implementiert:

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Das erste Qubit in qc.cx(0,1) ist das Steuer-Qubit, das zweite ist das Ziel-Qubit. Im Diagramm ist das Ziel-Qubit dasjenige mit dem „+"-Zeichen bzw. dem Kreuz.

$R_y(\theta)$ Rotations-Y-Gate: Dreht den Zustand um die y-Achse. Dies ist ein Einzel-Qubit-Gate.

$$R_y(\theta)|0\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)|1\rangle,\\R_y(\theta)|0\rangle = -\sin(\theta/2)|0\rangle+\cos(\theta/2)|1\rangle$$ $$R_y(\theta)=\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}$$

Rotations-Gates werden implementiert, indem man der Reihe nach den Gate-Typ, den Rotationsbetrag und das Qubit angibt, auf dem das Gate platziert wird:

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

Der Name des Gates ry gibt die Achse an, um die die Rotation erfolgt. Das erste Argument $\pi/2$ bezeichnet den Rotationsbetrag, und das zweite Argument gibt das Qubit an, auf dem das Gate platziert werden soll.

Überprüfe dein Verständnis

Lies die folgende Frage, überlege dir deine Antwort, und klicke dann auf das Dreieck, um die Lösung anzuzeigen.

Erstelle mithilfe der oben eingeführten oder aufgefrischten Syntax einen beliebigen Quantenschaltkreis mit vier verschiedenen Arten von Quantengattern.

Antwort:

Es gibt natürlich unendlich viele Möglichkeiten. Hier ist ein Beispiel:

qc=QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi/2,0)
qc.cx(1,0)
qc.x(1)
qc.h(0)
qc.cx(0,1)
qc.draw("mpl")

Vom physikalischen Experiment zum Quantenschaltkreis

Aus den Operationen dieser Gatter können wir beispielsweise erkennen, dass die Kets in den Ausdrücken für $P_{++}$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$$

wahrscheinlich ein Hadamard-Gatter erfordern, um die Superposition zu erzeugen, sowie ein CNOT-Gatter, um die Verschränkung herzustellen.

Wir werden nun die Gatter H, X und CNOT verwenden, um $|0\rangle_L|0\rangle_R$ in $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$ umzuwandeln:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|0\rangle_R\right)$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}CNOT_{LR}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|1\rangle_R\right)$$

Hier bezeichnet $CNOT_{LR}$ ein CNOT-Gatter, das L als Kontroll-Qubit und R als Ziel-Qubit verwendet. Wir können nun den R-Anteil des Zustands ausklammern:

$$\text{CNOT}_{LR}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L-|1\rangle_L\right)|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L|1\rangle_L|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R$$

Damit haben wir den Ket vollständig als Quantengatter ausgedrückt, die auf den Standard-Anfangszustand der Qubits wirken.

Nun können wir $R_y(\theta)$ auf $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ anwenden, um den Bra im Ausdruck für $P_{++}$ zu erhalten.

$$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(\cos(\theta/2)\langle0|+\sin(\theta/2)\langle1|\right)$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(|0\rangle \cos(\theta/2)+|1\rangle \sin(\theta/2)\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|\left(R_{y,R}(\theta)|0\rangle_R\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)$$

Diese Ergebnisse zusammenführend können wir die Wahrscheinlichkeit $P_{++}$ schreiben als

$$p_{++}=\left|\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R\right|^2$$

Das gibt uns eine klare Anleitung, wie wir unseren Quantenschaltkreis aufbauen. Wir wenden X-, H-, CNOT- und $R_y$-Gatter auf Qubits an, die die Quantenzustände der von Lucas und Rihanna gemessenen Teilchen repräsentieren, und führen Messungen durch, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

IBM Quantum empfiehlt, Quantencomputing-Probleme mit einem Framework anzugehen, das wir Qiskit-Patterns nennen. Es besteht aus den folgenden Schritten:

• Schritt 1: Bilde dein Problem auf einen Quantenschaltkreis ab
• Schritt 2: Optimiere deinen Schaltkreis für den Betrieb auf echter Quantenhardware
• Schritt 3: Führe deinen Job auf IBM-Quantencomputern mithilfe von Runtime Primitives aus
• Schritt 4: Verarbeite die Ergebnisse nach

Im Grunde war die gesamte Arbeit, die wir oben geleistet haben, Schritt 1. Lass uns den resultierenden Schaltkreis mit Qiskit bauen!

Schritt 1: Unsere Ergebnisse auf einen Quantenschaltkreis abbilden

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Bedenke, dass Rihanna in einem Drittel der Fälle eine Achse wählt, die $2\pi/3$ Radiant von Lucas' Achse entfernt ist, in einem weiteren Drittel der Fälle $4\pi/3$ Radiant, und in einem weiteren Drittel wählen sie dieselbe Achse. Wir benötigen also tatsächlich 3 Quantenschaltkreise für diese 3 Fälle und müssen die Ergebnisse addieren. Wir erklären den ersten ausführlich, die letzten beiden werden wir lediglich angeben.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's) as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

Der folgende Code erstellt alle drei Schaltkreise auf kompaktere Weise. Beachte, dass der einzige Unterschied zwischen den drei Schaltkreisen darin besteht, wie weit die beiden Qubits um die $y$-Achse rotiert werden.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Nun verwenden wir ein Qiskit-Primitive namens StatevectorSampler. Ein Sampler ist ein Primitive, das dazu dient, alle möglichen Zustände eines Systems abzutasten und die Wahrscheinlichkeiten (oder in manchen Fällen Quasi-Wahrscheinlichkeiten) für das Auftreten jedes Zustands zurückzugeben. Wir können eine Anzahl von „Shots" angeben und uns die „Counts" für jeden Zustand ansehen.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Wenn wir uns die Counts der einzelnen Schaltkreise ansehen, stellen wir fest, dass zwei davon nahezu identisch waren und der dritte sich deutlich unterschied.

plot_histogram(counts_list)

Erstellen wir eine Liste der möglichen Ergebnisse und addieren die Counts jedes Zustands aus allen drei Schaltkreisen, um Gesamtwahrscheinlichkeiten zu erhalten.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Nun können wir die Gesamtcounts für jedes Ergebnis ausgeben und das Histogramm darstellen.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Überprüfe dein Verständnis

Lies die folgende(n) Frage(n), überlege dir deine Antwort, und klicke dann auf das Dreieck, um die Lösung anzuzeigen.

Ist das obige Bild mit den Ergebnissen vereinbar, die durch verborgene Variablen und Determinismus vorhergesagt werden? Oder stimmt es mit der probabilistischen (und nicht-lokalen) Quantenmechanik überein?

Antwort:

Es ist mit der probabilistischen und nicht-lokalen Quantenmechanik vereinbar. Die Behandlung mit verborgenen Variablen sagte voraus, dass die Wahrscheinlichkeit, das gleiche Vorzeichen zu erhalten, kleiner oder gleich 4/9 ist. Die Quantenmechanik sagte eine Wahrscheinlichkeit von 50 % voraus. Das obige Histogramm beschreibt eine Wahrscheinlichkeit von 00 oder 11 von 49,97 %. Das kommt der Vorhersage der probabilistischen Quantenmechanik sehr nahe, und vor allem liegt es über dem erlaubten Bereich der Behandlung mit verborgenen Variablen.

Beweist das irgendetwas über die Natur?

Antwort:

Nein! Wir haben einen Simulator verwendet! Das ist ein Computer, der so programmiert wurde, dass er sich gemäß den Gesetzen der probabilistischen Quantenmechanik verhält. Wenn wir eine Regel aufstellen und dann einen Computer programmieren, diese Regel zu befolgen, ist seine Fähigkeit, die Regel zu befolgen, kein Beweis dafür, dass die Regel korrekt ist! Der einzige Weg, das zu beweisen, ist ein echter Quantencomputer!

Schritt 2: Deinen Quantenschaltkreis für echte Hardware optimieren

Obwohl wir zunächst einen Simulator zum Debuggen unseres Codes verwendet haben, möchten wir wirklich auf echter Hardware laufen. Ein Simulator gibt schließlich nur vor, quantenmechanisch zu sein – basierend auf den obigen Gleichungen. Wenn uns der Simulator sagen würde, dass diese Gleichungen korrekt sind, würde uns das wenig überzeugen. Wir wollen, dass ein echter Quantencomputer uns zeigt, was passiert! Also wählen wir den Quantencomputer aus, den wir verwenden möchten. Manchmal kann es wichtig sein, ein bestimmtes Gerät mit bestimmten Eigenschaften zu wählen, aber oft wollen wir einfach das Gerät verwenden, das am wenigsten ausgelastet ist.

Der folgende Code dient zum einmaligen Speichern deiner Zugangsdaten. Stelle sicher, dass du diese Informationen aus dem Notebook löschst, nachdem du sie in deiner Umgebung gespeichert hast, damit deine Zugangsdaten beim Teilen des Notebooks nicht versehentlich weitergegeben werden. Weitere Hinweise findest du unter Set up your IBM Cloud account und Initialize the service in an untrusted environment.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform', instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Schritt 3: Deinen Job auf IBM-Quantencomputern mit Runtime Primitives ausführen

Jetzt, da wir unsere Schaltkreise für echte Quantenhardware optimiert und unseren Code mithilfe von Simulatoren debuggt haben, sind wir bereit, Statistiken von einem echten Quantencomputer zu sammeln und den Streit zwischen Einstein und Born zu lösen.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

[None, None, None]

Schritt 4: Nachbearbeitung und Analyse

Lass uns kurz innehalten und rekapitulieren: Mit dem Ansatz der verborgenen Variablen und den 3 versetzten Achsen haben wir eine Schranke für die Wahrscheinlichkeit erhalten, dass die Messungen dasselbe Vorzeichen liefern: $P_{same,hv} =4/9$. Anschließend haben wir Wahrscheinlichkeitsverteilungen gemäß der Quantenmechanik angenommen und einen anderen Wert für diese Wahrscheinlichkeit erhalten: $P_{same,gm} = 1/2$. Die Vorhersage der Quantenmechanik liegt höher als das, was der Ansatz mit verborgenen Variablen erlaubt. Damit lässt sich experimentell feststellen, ob quantenmechanische Zustände von der Natur bereits vor der Messung festgelegt sind oder ob sie sich tatsächlich in einer probabilistischen Superposition möglicher Zustände befinden.

Wir haben unsere Quantenschaltkreise so konstruiert, dass es vier mögliche Ergebnisse gibt, die dem Messen des einen oder anderen Vorzeichens der Spinprojektion durch Lucas und Rihanna entsprechen: 00, 01, 10 und 11. In den Fällen 00 und 11 messen Lucas und Rihanna dasselbe Vorzeichen, in den Fällen 01 und 10 messen sie entgegengesetzte Vorzeichen. Wir sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Lucas und Rihanna dasselbe Vorzeichen erhalten, in sehr guter Näherung etwa 50 % beträgt – definitiv größer als $4/9$. Das bedeutet, dass es keine Menge verborgener Variablen gibt, die diese Wahrscheinlichkeitsverteilung erklären könnte, und dass der Ansatz mit verborgenen Variablen nicht mit dem Experiment vereinbar ist.

Es gibt verschiedene Interpretationen quantenmechanischer Experimentergebnisse, und es gibt viele Feinheiten bei experimentellen Aufbauten, die immer wieder neu untersucht werden. Bisher haben die Prinzipien der Quantenmechanik und die probabilistische Interpretation von Quantenzuständen die Ergebnisse jedoch akkurat beschrieben. Max Born scheint Recht gehabt zu haben.

Lass uns noch einen Moment über die Bedeutung dieses Ergebnisses nachdenken. Zwei Teilchen entstehen bei einem Zerfallsereignis und bewegen sich in verschiedene Richtungen, möglicherweise über lange Zeit. Ihre Spins befinden sich in keinem wohldefinerten Zustand, und sie tragen keine verborgenen Variablen mit sich, die die Ergebnisse zukünftiger Messungen bestimmen würden. Doch eine Messung des einen Teilchens (etwa entlang $+z$) legt zwingend das Ergebnis eines Experiments am Spin des anderen Teilchens entlang der $z$-Richtung fest (er muss $-z$ sein). Das bedeutet, dass etwas an der Physik des einen Teilchens durch das bestimmt wird, was mit dem anderen Teilchen – möglicherweise weit entfernt – geschieht. Dies ist eine der Situationen, die dazu geführt hat, dass Menschen die Realität als „nicht-lokal" bezeichnen.

Zwei Teilchen wie die hier beschriebenen sind gewissermaßen „verbunden" in dem Sinne, dass Messungen an einem das andere beeinflussen können. Solche Teilchen bezeichnen wir als „verschränkt". Verschränkung ist mehr als nur Korrelation. Zum Beispiel könnten wir eine klassische Maschine bauen, die auf einer Seite einen Magneten mit dem Nordpol nach oben und auf der anderen Seite einen Magneten mit dem Nordpol nach unten auswirft. Solche Magnete könnten perfekt antikorreliert sein. Aber eine Messung des einen würde nichts am anderen ändern. Bei quantenmechanischer Verschränkung hingegen kann Teilchen A in einem undefinierten Zustand sein (oder einer Mischung vieler Zustände), und wir können es durch Messungen an einem völlig anderen Teilchen (etwa B) auf einen definierten Zustand festlegen. So etwas existiert in der klassischen Welt nicht.

Dies wirft oft eine ganz neue Welt von Fragen und Möglichkeiten auf. Manche der Ideen, die dabei entstehen, sind real – wie die Nutzung von Verschränkung zum Rechnen, etwa in Quantencomputern! Andere sind verlockend, aber stellen sich letztlich als nicht umsetzbar heraus – wie der Versuch, Verschränkung zu nutzen, um Informationen schneller als Licht zu übertragen. Wir ermutigen dich, alle Fragen zu stellen, die dir einfallen, und darüber zu lesen, wie andere diese Phänomene untersucht haben. Es gibt eine ganze Welt der Quantenmechanik zu entdecken – hier sind nur einige Ressourcen, die du dir ansehen könntest:

IBM Quantum-Kurse:

• Quantencomputing in der Praxis
• Grundlagen der Quanteninformation

Interessante Quantenmechanik-Publikationen:

• Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon
• John Bells Originalarbeit von 1964
• Arbeit von 2019 über das Auffangen und Umkehren eines „Quantensprungs" mitten im Übergang

Einige didaktische Ressourcen zur Quantenmechanik:

• Quantum I-Kursmaterialien der University of Colorado.

Einige quantenmechanische Lehrforschungsarbeiten:

• Review of student difficulties in upper-level quantum mechanics von C. Singh und E. Marshman

Fragen

Kursleiter können Versionen dieser Notebooks mit Lösungsschlüsseln und Hinweisen zur Einbettung in gängige Lehrpläne anfordern, indem sie diese kurze Umfrage darüber ausfüllen, wie die Notebooks eingesetzt werden.

Grundlegende Konzepte:

• Es gab einen historischen Streit darüber, ob Quantenzustände vor der Messung lediglich unbekannt oder von der Natur unbestimmt waren, ob Quantenmechanik deterministisch oder probabilistisch ist.
• Verborgene Variablen und damit lokaler Realismus sind nicht mit Beobachtungen der Quantenmechanik vereinbar. Das heißt, die in der Quantenmechanik beobachteten Korrelationen lassen sich nicht durch wohldefinierte Variablen erklären, die uns lediglich unbekannt sind.
• Quantenmechanik ist probabilistisch.
• Verschränkung ist real und beobachtbar.
• Verschränkung ist nicht nur Korrelation.
• Wir können reale Szenarien auf Quantencomputer abbilden.
• Verborgene Variablen bezeichnet Größen, die von der Natur festgelegt, aber dem Menschen unbekannt sind; in diesem Kontext existieren sie nicht.

Wahr/Falsch-Fragen:

1. W/F Albert Einstein argumentierte, dass die Quantenmechanik als Theorie unvollständig sei, weil sie nur Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen beschreibe und nicht den zugrundeliegenden Mechanismus, der diese Ergebnisse bestimme.
2. W/F „Verborgene Variablen" bezeichnet die Idee, dass zwei quantenmechanische Teilchen verschränkt sein können.
3. W/F Jedes zwei korrelierte Systeme sind quantenmechanisch verschränkt.
4. W/F Quantenmechanische Verschränkung ist wichtig, um Rechnungen korrekt durchzuführen, aber sie lässt sich nicht in einem Experiment beobachten.
5. W/F In den meisten Fällen kann die Quantenmechanik kein exaktes Ergebnis eines Experiments angeben, sondern nur die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bestimmte Ergebnisse gemessen werden.
6. W/F In der Quantenmechanik kann unter bestimmten Bedingungen der Zustand von Teilchen A durch den Zustand von Teilchen B beeinflusst werden, selbst wenn die Teilchen A und B nicht in Kontakt sind und keine Teilchen austauschen.
7. W/F Wir können reale Experimente auf Quantenschaltkreise abbilden.

Multiple-Choice-Fragen:

1. Angenommen, ein Teilchen mit Spin 0 zerfällt in zwei Teilchen A und B mit Spin 1/2. Eine Messung an Teilchen A ergibt, dass sein Spin eine Projektion entlang $+z$ hat. Teilchen B hat jetzt

   • a. definitiv eine Spinprojektion entlang $-z$
   • b. definitiv eine Spinprojektion entlang $-x$
   • c. definitiv eine Spinprojektion entlang $-y$
   • d. definitiv eine negative Spinprojektion entlang jeder gemessenen Achse.

2. Ein Teilchen mit Spin 0 zerfällt in zwei Teilchen A und B mit Spin 1/2. Wenn Teilchen A mit einer Projektion entlang $+z$ gemessen wird, welche der folgenden Projektionen sind für eine Messung von Teilchen B möglich? Kreise alle zutreffenden ein.

   • a. $+x$
   • b. $-x$
   • c. $+y$
   • d. $-y$
   • e. $+z$
   • f. $-z$

3. Angenommen, ein Teilchen mit Spin 0 zerfällt in zwei Teilchen A und B mit Spin 1/2. Was beschreibt den Zustand von Teilchen A vor jeder Messung am besten?

   • a. Der Spin von Teilchen A liegt entlang $+z$.
   • b. Der Spin von Teilchen A liegt entlang $-z$.
   • c. Der Spin von Teilchen A liegt entlang $+x$.
   • d. Der Spin von Teilchen A ist entlang einiger Richtungen definiert, aber nicht entlang anderer.
   • e. Die Spinorientierung von Teilchen A ist von der Natur vor jeglichen Messungen unbestimmt.

4. Welche der folgenden Aussagen trifft/treffen auf das Hadamard Gate zu? Wähle alle zutreffenden aus.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$
   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$
   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. Welche der folgenden Aussagen trifft/treffen auf das X Gate zu? Wähle alle zutreffenden aus.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$
   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$
   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$
   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. Welches der folgenden ist ein Zwei-Qubit-Gate?

   • a. X
   • b. $R_y(\theta)$
   • c. H
   • d. CNOT

7. Angenommen, ein Qubit befindet sich im Zustand $|0\rangle$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, es im Zustand $|1\rangle$ zu messen?

   • a. Genau 100 % auf einem rauschfreien Simulator, nahe 100 % auf einem echten Quantencomputer
   • b. Nahe 100 % auf einem rauschfreien Simulator, genau 100 % auf einem echten Quantencomputer
   • c. Genau 0 % auf einem rauschfreien Simulator, nahe 0 % auf einem echten Quantencomputer
   • d. Nahe 0 % auf einem rauschfreien Simulator, genau 0 % auf einem echten Quantencomputer

Diskussionsfragen:

1. Die Freunde A, B und C diskutieren Ergebnisse aus diesem Praktikum, die sich auf die Bellsche Ungleichung beziehen. Konkret betrachten sie das Bild, das zeigt, dass die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit, dasselbe Vorzeichen entlang der Achsen zu messen, größer ist als das, was ein Ansatz mit verborgenen Variablen erlaubt: $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. Freund A sagt: „Das bedeutet, dass wir die Spinzustände vor einer Messung nicht kannten." Freund B sagt: „Nein, das geht weiter. Das bedeutet, dass die Spins vor der Messung noch gar nicht in eine bestimmte Richtung gezeigt haben. Obwohl der Spinzustand vielleicht irgendwie festgelegt oder gespeichert sein könnte." Freund C sagt: „Nein, das geht noch weiter. Das bedeutet, dass der zukünftige Spinzustand von der Natur vor der Messung noch nicht einmal festgelegt war." Wem stimmst du zu, und warum?

2. Erkläre, wie quantenmechanische Phänomene wie Verschränkung darauf hinweisen, dass die Realität nicht-lokal ist.

3. Welche weiteren Experimente würdest du gerne durchführen, um dich von den hier erzielten Ergebnissen zu überzeugen?

4. Könnte die Bellsche Ungleichung nur mit 3 gleichmäßig verteilten Achsen $a$, $b$ und $c$ untersucht werden? Wäre es auch mit einer anderen Anzahl von Achsen möglich? Wie würde das aussehen? Würde es immer noch einen Unterschied in den Wahrscheinlichkeiten ergeben, die durch verborgene Variablen im Vergleich zur probabilistischen Quantenmechanik vorhergesagt werden?