Mathematischer Formalismus

Bei der Aufgabe, Pauli-Rauschen für eine Menge von Clifford-Gates zu lernen, ist eine gängige Analysetechnik, zu verfolgen, wie einzelne Pauli-Operatoren durch eine Folge von Gate-Anwendungen transformiert werden (unter der Annahme, dass die Gates Clifford-Gates sind und das Rauschen ein Pauli-Kanal ist, wird ein einzelner Pauli-Operator stets auf einen anderen Pauli-Operator abgebildet, bis auf einen Skalar, der eine Funktion des Rauschens ist). Offensichtlich lässt sich die Entwicklung eines beliebigen Zustands unter einer solchen Folge durch eine Linearkombination solcher Trajektorien erfassen. Nimmt man jedoch an, dass der Zustand stets in einem Pauli-Eigenzustand präpariert wird und die Ergebnisse stets so gemessen und nachbearbeitet werden, dass der Erwartungswert eines Pauli-Operators berechnet wird, hängt der Zusammenhang zwischen dem Erwartungswert und den Parametern des Rauschmodells immer nur von einer einzigen solchen Trajektorie ab. Das folgt aus der einfachen Tatsache, dass der Anfangszustand eine Linearkombination von Pauli-Operatoren ist, jedes Gate und jedes Rauschmodell Paulis auf Paulis abbildet und ihre Orthogonalität erhält, und der finale Erwartungswert vor der Messung nur einen der Paulis in der finalen Zerlegung „auswählt“.

Diese Art der Argumentation taucht in vielen parallelen Forschungslinien zum Noise Learning auf, darunter in der Literatur zum Pauli-Gate-Set-Learning [1, 2], in der ACES-Literatur [3] und in der Literatur zum Cycle Benchmarking [4]. Diese Argumentation wurde in [5] weiter verallgemeinert, um Clifford-MCM-Gates einzubeziehen (ein Clifford-Gate, gefolgt von einer projektiven Mid-Circuit-Messung). Dieses Paket folgt am engsten [1, 5]. Auch wenn er nicht ausdrücklich so genannt wird, übernehmen wir den Formalismus des Pattern Transfer Graph (PTG), um zu beschreiben, wie sich Pauli-Operatoren durch Lern-Circuits entwickeln, und erhalten so eine direkte Datendarstellung von Pfaden durch den Graphen.

Das Folgende ist eine Übersicht einiger zentraler mathematischer Konzepte aus der Literatur. Sie dient vor allem dazu, die Notation zu vereinheitlichen und als konzeptionelle Dokumentationsreferenz für den Rest des Pakets zu fungieren.

1. Hintergrund

1.1 Notation

Für $K \in \mathbb{N}$ sei $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Für eine endliche Menge $S \subset \mathbb{N}$ von Qubit-Indizes bezeichne $\mathcal{P}^S$ die Menge der phasenlosen Pauli-Operatoren, die auf diesen Qubits wirken. Beachte, dass wir Elemente von $\mathcal{P}^S$ als Funktionen auffassen, die $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$ abbilden, sodass für jedes $P \in \mathcal{P}^S$ und $T \subseteq S$ der Ausdruck $P|_T$ die Einschränkung von $P$ auf die Qubit-Teilmenge $T$ bezeichnet. In diesem Sinne bezeichnet für disjunkte Mengen $S, T$ sowie $P \in \mathcal{P}^S$ und $Q \in \mathcal{P}^T$ der Ausdruck $P \otimes Q$ das Element von $\mathcal{P}^{S \cup T}$, sodass $P \otimes Q |_S = P$ und $P \otimes Q |_T = Q$. Diese Notation hilft, die explizite Behandlung von Reihenfolgen der Teilsysteme zu vermeiden, und macht es einfach, Einschränkungen zu beschreiben.

Für endliche Teilmengen $M \subset \mathbb{N}$ bezeichnen wir mit $\mathbb{Z}_2^M$ die Menge der Bitstrings, deren Elemente durch $M$ indiziert sind. Wie oben fassen wir Elemente als Funktionen auf, die $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$ abbilden, sodass wir Teilstrings leicht über Einschränkungen der Indexmenge beschreiben können.

Schließlich verwenden wir für eine Matrix $X$ die Schreibweise $| X \rangle\!\rangle$ für ihre Vektorisierung. Angesichts der begrenzten Art, in der wir diese Notation verwenden, ist es nicht nötig, eine bestimmte Vektorisierungskonvention zu wählen. Für einen klassischen Bitstring $m$ verwenden wir die Kurzschreibweise $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Quanteninstrumente

Eine Quantenoperation, die klassische Bits $m \in \mathbb{Z}_2^M$ erzeugt (zum Beispiel das Ergebnis einer Messung), wird im Allgemeinen als lineare Abbildung der folgenden Form modelliert:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

wobei die Menge $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ aus vollständig positiven Abbildungen besteht und $\sum_m \mathcal{E}_m$ spurerhaltend ist. Eine Menge vollständig positiver Abbildungen $\{\mathcal{E}_m\}$, die diese Eigenschaften erfüllt, heißt Quanteninstrument. Ein unitäres Gate ist ein Spezialfall eines Instruments mit nur einem Element, das eine unitäre Operation ist.

2. Verrauschte Clifford-MCM-Reset-Gates

Der in diesem Paket verwendete Formalismus nimmt an, dass jedes Gate in der zu charakterisierenden Gate-Menge aus der folgenden Folge von Operationen auf $K$ Qubits besteht:

1. Eine Clifford-Operation auf allen Qubits.

2. Eine projektive Mid-Circuit-Messung entlang $Z$ auf einer Teilmenge von Qubits $M \subseteq [K]$.

3. Ein Mid-Circuit-Reset in den $Z$-Grundzustand auf einer Teilmenge von Qubits $R \subseteq [K]$.

Dies ist eine allgemeine Klasse von Operationen, die unitäre Clifford-Gates, Messung, Zustandspräparation und beliebige Kombinationen davon umfasst. Beachte, dass wir annehmen, dass Messung und Reset stets entlang der $Z$-Achse jedes Qubits erfolgen. Das ist zwar nicht unbedingt erforderlich, aber ein gängiges Merkmal vieler Quantencomputing-Modalitäten und ermöglicht vereinfachte Darstellungen und Analysen.

Wie in [5, 6] für den Fall ohne Reset dargelegt, lässt sich die Wirkung der resultierenden Operation mathematisch als uniformes Pauli-Instrument modellieren, wenn auf eine verrauschte Instanz eines solchen Gates eine bestimmte Twirling-Strategie angewendet wird. Das heißt, in der Notation des Quanteninstruments gilt $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, wobei $G$ das unitäre Clifford-Gate ist und:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

wobei jedes $\Lambda_{a,b}$ ein subnormierter Pauli-Kanal auf den ungemessenen Qubits $N = [K] \setminus M$ ist. Aus der Eigenschaft als Quanteninstrument folgt, dass auch $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ spurerhaltend ist. Einige Anmerkungen:

• Das anfängliche, ungetwirlte Rauschen wird so modelliert, dass es sowohl „quantenmechanische“ als auch „klassische“ Fehler enthält: fehlerhafte Operationen auf den Quantenregistern sowie Fehler bei der Meldung des Messwerts.

• Die Rauschabbildung $\Lambda_{a,b}$ ist unabhängig vom Messergebnis $m$.

In Worten: Ein einzelner Term in der obigen Summe steht dafür, dass das Messergebnis $m$ beobachtet wird, während der gemessene Zustand $| m + b \rangle$ war (eine Fehlklassifikation, falls $b \neq 0$), und dass der Ausgangszustand im Messregister $| m + a \rangle$ ist (der „falsche“ Zustand, falls $a \neq 0$). Die Abbildung $\Lambda_{a,b}$ kodiert gleichzeitig die Wirkung auf die ungemessenen Qubits (bedingt durch das Messverhalten) und die Wahrscheinlichkeit des konkreten Messverhaltens (durch die Normierung).

Beachte, dass uns die Einzelheiten der Twirling-Strategie hier nicht interessieren: Es genügt, dass eine solche Strategie existiert, die den Kanal in die obige Form bringt. Beachte außerdem, dass es „feinere“ Twirling-Strategien gibt, die die Form der Pauli-Kanäle weiter einschränken können [7]; wir betrachten die obige Form jedoch als die allgemeinste mathematische Darstellung im Rahmen dieser Betrachtung.

In Lemma 1 von [5] wird gezeigt, dass sich $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ umschreiben lässt zu:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

für einige reelle Zahlen $\lambda_{x,y}^Q$, die Fidelities des Instruments genannt werden.

Einen Reset in dieses Bild aufzunehmen, ist relativ einfach. Eine verrauschte Reset-Operation auf Qubits $R \subset [K]$ lässt sich gemäß der folgenden Zerlegung modellieren:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

Die obige Form nutzt ausdrücklich die Annahme, dass der Reset für jedes Qubit entlang der $Z$-Achse erfolgt. Das Rauschen in der Operation wird in den Reset-Fidelities $\lambda_r$ kodiert, die einfach durch Qubit-Teilmengen indiziert sind.

Ein Analogon zu Gleichung (1), das am Ende eine Reset-Operation enthält, erhält man, indem man sie einfach mit Gleichung (2) verknüpft. Diese Verknüpfung ergibt nach einigen Vereinfachungen:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Diese Zerlegung zeigt, dass die Anzahl der Fidelities $\lambda^Q_{x, y}$ gleich

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Betrachte Grenzfälle: (1) Ohne Messung und Reset, $M = R = \emptyset$, ergibt der Ausdruck $4^K$, die Anzahl der phasenlosen Pauli-Operatoren auf $K$ Qubits. (2) Für $M = \emptyset$ und $R=[K]$ ergibt sich $2^K$, die Anzahl der Teilmengen von $[K]$. Schließlich ergibt sich (3) für $M = [K]$ und $R = \emptyset$ der Wert $4^K$. Beachte, dass das zunächst überraschend erscheinen mag: Beim Standard-Lernen wird für Messung und Reset typischerweise dieselbe Anzahl an Fidelities angenommen: $2^K$. Hier wird das Gate, das alles misst, jedoch nicht als terminale Messung, sondern als MCM verstanden, und daher sind auch Fidelities enthalten, die nicht-identischen Ausgaben der Messung entsprechen (wie $y \neq 0$ in Gleichung (3)).

Schließlich ist es wichtig zu beachten, dass jede Twirling-Strategie, die im Fall ohne Reset die Form in Gleichung (1) liefert, mit einer einfachen Anpassung genauso gut auch für den nicht-trivialen Reset-Fall gilt. Das potenzielle Problem ist, dass eine solche Twirling-Strategie Operationen auf gemessenen Qubits nach der Messung erfordern kann. Wird ein Qubit also gemessen und zurückgesetzt, scheint die Umsetzung der Strategie zu erfordern, Operationen innerhalb des Gates zwischen Messung und Reset einzufügen. Aufgrund der Natur des Resets haben solche Operationen jedoch keine Wirkung und können einfach ausgelassen werden, während man dieselbe gewünschte Struktur erhält.

3. Pfad-Formalismus

Wie in der Einleitung beschrieben, beruhen alle Lernalgorithmen für Rauschen vom Pauli-Typ auf Clifford-Gates darauf, zu verfolgen, wie sich einzelne Paulis durch einen Circuit entwickeln und dabei Rausch-Fidelity-Faktoren aufsammeln. Die Erwartungswerte eines aus solchen Gates aufgebauten Circuits hängen daher einfach mit Produkten der zugrunde liegenden Fidelities der einzelnen Gates zusammen, und auf diese Weise lassen sich Modellparameter ableiten, indem man die jeweils angenommene dünnbesetzte Abbildung von Parametern auf Fidelities invertiert.

In [1] wird dies im Kontext unitärer Gate-Mengen im Pattern Transfer Graph (PTG) formalisiert: einem gerichteten Graphen, der alle möglichen Experimente beschreibt, die aus Elementen der Gate-Menge und Schichten von Ein-Qubit-Clifford-Gates bestehen (die als perfekte, also „freie“ Operationen angenommen werden). Dies wurde in [5] auf Gate-Mengen mit Mid-Circuit-Messungen verallgemeinert. In beiden Fällen wird jedes Experiment beschrieben, indem ein einzelner Pauli-Operator durch den Circuit verfolgt wird, unter der Annahme, dass an jeder Messstelle eine bestimmte Observable berechnet wird. Hier gehen wir nicht direkt auf die Graph- oder Pfadkonstruktionen ein, stellen aber die Fakten bereit, die nötig sind, um sie in unserer eigenen Notation und mit Resets zu begründen.

Während die Verfolgung eines einzelnen Pauli-Operators durch den Circuit im Fall unitärer Gate-Mengen intuitiv sein mag, gilt sie im allgemeineren Clifford-MCM-Reset-Fall wegen der nichtdeterministischen Natur der Messung nicht so offensichtlich. Der folgende Satz stellt dieses Bild auch im allgemeineren Fall wieder her [5]:

Satz 1

Für beliebige $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ und $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ gilt:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Mit anderen Worten: Wenn wir den Erwartungswert $Z^{x + y|_M}$ auf dem klassischen Register berechnen, das von der MCM ausgegeben wird, bildet die Entwicklung einer Observablen im „Heisenberg-Bild“ durch das Clifford-MCM-Reset-Gate $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$ ab. Allein diese Tatsache ermöglicht es, eine PTG-ähnliche Analyse über den Fall unitärer Gate-Mengen hinaus wiederzugewinnen: Mit einer bestimmten Nachbearbeitung der Messergebnisse können sogar Gates mit Messungen und Resets als deterministische Abbildung eines Pauli-Operators auf einen anderen betrachtet werden.

Bevor wir dies beweisen, schreiben wir Gleichung (3) in einer aufschlussreicheren Form. Beachte, dass für $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ gilt: $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, und somit (in Superoperator-Notation) erhalten wir:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

wobei wir Gleichung (3) angewendet und Terme zusammengefasst haben, und wir den Index $M$ verwenden, um das klassische Messergebnisregister zu kennzeichnen, das wir oben in ähnlicher Notation wie die Quantenregister behandeln.

Beweis. Es gilt:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Beachte schließlich, dass $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, und somit fällt der letzte Term oben auf den einzelnen Term $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$ zusammen, was das gewünschte Ergebnis liefert.

Siehe [5] für die Weiterentwicklung über diesen Punkt hinaus: die Definition des PTG, Pfade durch den PTG und den Beweis, dass jeder richtig definierte Pfad einem Experiment entspricht.

Referenzen

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.