Verschiedene Lp-Normen für das Abschneiden von Pauli-Termen verwenden

Hinweis: Bevor du diese Anleitung liest, solltest du die Anleitung Pauli-Terme abschneiden lesen. Sie beschreibt das Abschneiden von Pauli-Termen mit niedrigem Gewicht, das in der Methode backpropagate auf Grundlage eines festgelegten TruncationErrorBudget eingebaut ist. In dieser Anleitung lernst du das Schlüsselwortargument p_norm von backpropagate kennen. Damit lässt sich die Lp-Norm ändern, die zur Abschätzung des Fehlers durch die abgeschnittenen Pauli-Terme verwendet wird.

Ein Beispiel-Circuit erstellen

Diese Anleitung verwendet denselben Beispiel-Circuit wie die Anleitung Pauli-Terme abschneiden:

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "qiskit": "qiskit", "qiskit_addon_obp": "qiskit-addon-obp", "qiskit_addon_utils": "qiskit-addon-utils", "rustworkx": "rustworkx"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import rustworkx.generators
from qiskit.synthesis import LieTrotter
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    PauliOrderStrategy,
    generate_time_evolution_circuit,
    generate_xyz_hamiltonian,
)
from qiskit_addon_utils.slicing import combine_slices, slice_by_gate_types

# Generate a linear chain of 10 qubits
num_qubits = 10
linear_chain = rustworkx.generators.path_graph(num_qubits)

# Use an arbitrary XY model
hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    linear_chain,
    coupling_constants=(0.05, 0.02, 0.0),
    ext_magnetic_field=(0.02, 0.08, 0.0),
    pauli_order_strategy=PauliOrderStrategy.InteractionThenColor,
)
# Evolve for some time
circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian, synthesis=LieTrotter(reps=3), time=2.0
)
# slice the circuit by gate type
slices = slice_by_gate_types(circuit)

# For visualization purposes only, recombine the slices with barriers between them and draw the resulting circuit
combine_slices(slices, include_barriers=True).draw("mpl", fold=50, scale=0.6)

Definiere eine Observable für die Gesamtmagnetisierung:

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

obs = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1.0) for i in range(num_qubits)], num_qubits=num_qubits
)

Berechne zum Vergleich den exakten Erwartungswert:

from qiskit.primitives import StatevectorEstimator

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(circuit, obs)])
res = job.result()
exact_exp = res[0].data.evs
print(exact_exp)

9.318197859862146

Die L1-Norm verwenden

Standardmäßig, wie du bereits in der Anleitung Pauli-Terme abschneiden gesehen hast, gilt p_norm=1. Das bedeutet, dass der Fehler wie folgt abgeschätzt wird:

$$|\langle\psi|\Delta|\psi\rangle| \leq \sum_{P\in\mathcal{T}} |c_P|$$

Dabei ist $\psi$ der Quantenzustand, $\Delta$ die tatsächliche Differenz zwischen der exakten und der abgeschnittenen Observable (die unbekannt ist), $\mathcal{T}$ die Menge der abgeschnittenen Pauli-Terme und $c_P$ der Koeffizient des Pauli-Terms. Diese Ungleichung ist eine strenge, aber in den meisten Szenarien sehr lockere obere Schranke. In dieser Anleitung werden sechs Slices des Beispiel-Circuits rückpropagiert, mit einem konstanten Fehler von 0.001 pro Slice. Dieser Wert ist als Budget innerhalb der gegebenen p_norm zu verstehen.

from qiskit_addon_obp.utils.truncating import setup_budget

l1_truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.001, p_norm=1)
print(l1_truncation_error_budget)

TruncationErrorBudget(per_slice_budget=[0.001], max_error_total=inf, p_norm=1)

from qiskit_addon_obp import backpropagate

max_slices = 6
l1_bp_obs, l1_remaining_slices, l1_metadata = backpropagate(
    obs,
    slices[-max_slices:],
    truncation_error_budget=l1_truncation_error_budget,
)
l1_reduced_circuit = combine_slices(
    slices[:-max_slices] + l1_remaining_slices
)
print(
    f"Backpropagated {max_slices - len(l1_remaining_slices)} circuit slices."
)
print(
    f"New observable contains {len(l1_bp_obs)} terms and {len(l1_bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} commuting groups."
)

Backpropagated 6 circuit slices.
New observable contains 116 terms and 10 commuting groups.

Wir können nun den Erwartungswert der rückpropagierten Observable sowie den Fehler gegenüber der exakten Referenz berechnen:

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(l1_reduced_circuit, l1_bp_obs)])
res = job.result()
l1_exp = res[0].data.evs
l1_error = exact_exp - l1_exp
print(l1_exp, l1_error)

9.317869899338842 0.00032796052330397174

Schließlich können wir den bei der Rückpropagation jedes Slices entstandenen Fehler sowie den akkumulierten Fehler darstellen. Der akkumulierte Fehler ist die Summe der Slice-Fehler. Wir sehen, dass der akkumulierte Fehler eine sehr lockere obere Schranke für den tatsächlichen Fehler ist.

from matplotlib import pyplot as plt
from qiskit_addon_obp.utils.visualization import (
    plot_accumulated_error,
    plot_slice_errors,
)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
axes[1].plot([6], [l1_error], "x", color="red", label="actual error")
plot_slice_errors(l1_metadata, axes[0])
plot_accumulated_error(l1_metadata, axes[1])

Die L2-Norm verwenden

Man kann argumentieren, dass die L2-Norm den entstandenen Fehler besser annähert als die L1-Norm. Das liegt daran, dass wir annehmen können, dass der Quantenzustand $|\psi\rangle$ aus einem Haar-zufälligen Ensemble gezogen wird. In diesem Fall folgt der entstandene Fehler einer Verteilung mit verschwindendem Mittelwert und einer Varianz, die sich näherungsweise durch die L2-Norm beschränken lässt:

$$|\langle\psi|\Delta|\psi\rangle| \lesssim \left( \sum_{P\in\mathcal{T}} |c_P|^2 \right)^{1/2}$$

Diese Schranke ist zwar nicht streng, wird aber nur in pathologischen Fällen verletzt. Wir rückpropagieren erneut sechs Slices des Beispiel-Circuits mit einem maximalen Fehler von 0.001 pro Slice (diesmal bezogen auf die L2-Norm).

l2_truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.001, p_norm=2)
print(l2_truncation_error_budget)

TruncationErrorBudget(per_slice_budget=[0.001], max_error_total=inf, p_norm=2)

max_slices = 6
l2_bp_obs, l2_remaining_slices, l2_metadata = backpropagate(
    obs,
    slices[-max_slices:],
    truncation_error_budget=l2_truncation_error_budget,
)
l2_reduced_circuit = combine_slices(
    slices[:-max_slices] + l2_remaining_slices
)
print(
    f"Backpropagated {max_slices - len(l2_remaining_slices)} circuit slices."
)
print(
    f"New observable contains {len(l2_bp_obs)} terms and {len(l2_bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} commuting groups."
)

Backpropagated 6 circuit slices.
New observable contains 84 terms and 6 commuting groups.

Wir berechnen wieder den Erwartungswert der rückpropagierten Observable und den Fehler gegenüber der exakten Referenz:

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(l2_reduced_circuit, l2_bp_obs)])
res = job.result()
l2_exp = res[0].data.evs
l2_error = exact_exp - l2_exp
print(l2_exp, l2_error)

9.317829770853422 0.00036808900872387085

Die Darstellung der entstandenen Fehler pro Slice und des akkumulierten Fehlers ergibt ein ähnliches Bild wie zuvor.

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
axes[1].plot([6], [l2_error], "x", color="red", label="actual error")
plot_slice_errors(l2_metadata, axes[0])
plot_accumulated_error(l2_metadata, axes[1])

Beachte, dass der akkumulierte Fehler wieder die Summe der einzelnen Slice-Fehler ist. Aufgrund der Minkowski-Ungleichung ist das eine weitere lockere Schranke, da wir diese Schranke rekursiv berechnen müssen:

$$|\langle\psi|\Delta_{i}|\psi\rangle| \leq |\langle\psi|\tilde{\Delta}_{i-1}|\psi\rangle| + \left( \sum_{P\in\mathcal{T_i}} |c_P|^2 \right)^{1/2} = |\langle\psi|\tilde{\Delta}_{i}|\psi\rangle|$$

Der neue Index $i$ bezeichnet die aktuelle Slice-Iteration. Dadurch ist $\Delta_i$ der tatsächliche Fehler bei Rückpropagations-Iteration $i$, $\tilde{\Delta}_{i-1}$ der approximierte Abschneidefehler aus Iteration $i-1$ und $\mathcal{T}_i$ die Menge der in Iteration $i$ abgeschnittenen Pauli-Terme.