Schnellstart

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title: Schnellstart description: Ein Schnellstart-Leitfaden für das Qiskit-Addons-Paket pauli-prop

In diesem Leitfaden verwenden wir das Paket pauli-prop, um die Zeitdynamik eines gekickten Ising-Modells mit 10 Qubits auf einer 1D-Spinkette klassisch zu simulieren.

Eingaben für die Pauli-Propagation vorbereiten

Der betrachtete Hamiltonian lautet:

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

wobei $J>0$ die Kopplung nächster benachbarter Spins beschreibt, $i<j$, und $h$ das globale transversale Feld ist. Eine Trotter-Zerlegung erster Ordnung des zeitentwickelten Operators wird als Quantencircuit $U$ über $20$ Trotter-Schritte implementiert. Die Kopplungskonstante $J$ wird auf $J=-\frac{\pi}{2}$ festgelegt und $h$ auf $\frac{\pi}{6}$. Die $ZZ$-Wechselwirkungen werden mithilfe von Clifford-Gates ($CX$, $Sdg$, $\sqrt{Y}$) implementiert.

Wir implementieren die Trotter-Zeitentwicklung als Quantencircuit und verwenden $\frac{\pi}{6}$ für die Nicht-Clifford-Rotationen um die x-Achse. Je weiter diese Winkel von Clifford-Winkeln entfernt sind (zum Beispiel $\theta=n\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$), desto schwieriger ist das System mit Methoden der Pauli-Propagation zu simulieren.

Als Observable betrachten wir die durchschnittliche Magnetisierung pro Gitterplatz, $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \langle z_i \rangle$, wobei $N$ die Anzahl der Spins ist.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_aer": "qiskit-aer"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import CouplingMap

num_qubits = 10
coupling_map = CouplingMap.from_line(num_qubits, bidirectional=False)

# Num Trotter steps
num_steps = 20
theta_rx = np.pi / 6

# Average single-site magnetization
observable = (
    SparsePauliOp(
        [
            "I" * iq + "Z" + "I" * (num_qubits - iq - 1)
            for iq in range(num_qubits)
        ]
    )
    / num_qubits
)

# Create the Trotter circuit
num_qubits = 10
num_steps = 20
theta_rx = np.pi / 6
circuit = QuantumCircuit(num_qubits)
edges = CouplingMap.from_line(num_qubits, bidirectional=False).get_edges()
for _ in range(num_steps):
    circuit.rx(theta_rx, [i for i in range(num_qubits)])
    for edge in edges:
        circuit.sdg(edge)
        circuit.ry(np.pi / 2, edge[1])
        circuit.cx(edge[0], edge[1])
        circuit.ry(-np.pi / 2, edge[1])
circuit.draw("mpl", fold=-1)

Die Zeitentwicklung des Systems mit Pauli-Propagation simulieren

Sobald wir unseren Circuit $U$ und die Observable $O$ haben, können wir das System in wenigen Schritten einfach simulieren:

• $U$ mit evolve_through_cliffords in seinen Clifford-Anteil $C$ und seinen Nicht-Clifford-Anteil $P$ aufteilen, sodass $U=PC$ gilt

• $O$ mit pauli_prop.propagate_through_circuit durch $P$ propagieren, was einen neuen Operator $O^\prime$ ergibt

• $O^\prime$ mithilfe der in Qiskit integrierten Unterstützung für Clifford-Evolution durch den Clifford-Anteil des Circuits entwickeln

• Den Erwartungswert als $\langle0|O^\prime|0\rangle \approx \langle0|U^\dagger OU|0\rangle$ approximieren, indem die Koeffizienten in $O^\prime$ summiert werden, die zu vollständig diagonalen Pauli-Termen gehören (Pauli-Terme, die auf allen Qubits entweder I oder Z enthalten). Denke daran: Dies ist eine Näherung, weil wir beim Propagieren durch den Nicht-Clifford-Anteil des Circuits Terme aus $O^\prime$ abgeschnitten haben.

import time

from pauli_prop import evolve_through_cliffords, propagate_through_circuit

cliff, non_cliff = evolve_through_cliffords(circuit)

max_terms_list = [10**i for i in range(8)]
approx_evs = []
durations = []
for max_terms in max_terms_list:
    st = time.perf_counter()
    evolved_obs = propagate_through_circuit(
        observable, non_cliff, max_terms=max_terms, atol=1e-12, frame="h"
    )[0]
    evolved_obs.paulis = evolved_obs.paulis.evolve(cliff, frame="h")
    durations.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(evolved_obs.coeffs[~evolved_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum())
    )

Je größer die Berechnungen sind, die wir ausführen, desto genauer werden die Näherungen des Erwartungswerts. In diesem Beispiel sättigen wir den gesamten Pauli-Raum bei etwa $4^{10}\approx10^6$, was sich darin zeigt, dass die Kurve zwischen den letzten beiden Punkten abflacht.

Obwohl das folgende Diagramm eine monotone Konvergenz zeigt, konvergieren Pauli-Propagations-Simulationen im Allgemeinen nicht monoton. Es ist nicht ungewöhnlich, bei solchen Diagrammen "holprig" verlaufende Kurven zu sehen.

import matplotlib.pyplot as plt
from qiskit_aer import AerSimulator

sim_circ = circuit.copy()
sim_circ.save_statevector()
backend = AerSimulator(method="statevector")
psi = backend.run(sim_circ).result().data()["statevector"]
exact_ev = psi.expectation_value(observable)

ax1 = plt.gca()
ax1.plot(max_terms_list, approx_evs, marker="o", label="Approximate")
ax1.axhline(exact_ev, linestyle="--", color="green", label="Exact")
ax1.set_xscale("log")
ax1.set_xlabel("# terms kept")
ax1.set_ylabel(r"$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \langle z_i \rangle$")

ax2 = ax1.twinx()
ax2.plot(
    max_terms_list, durations, marker=".", label="Runtime", color="orange"
)
ax2.set_ylabel("Runtime (s)", color="orange")
ax2.set_yscale("log")

handles1, labels1 = ax1.get_legend_handles_labels()
handles2, labels2 = ax2.get_legend_handles_labels()
ax1.legend(handles1 + handles2, labels1 + labels2, loc="lower right")

plt.title(f"Simulating {num_steps}-step 1D Ising Model")

Text(0.5, 1.0, 'Simulating 20-step 1D Ising Model')